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XYLOPHILIDES ET ANTHICIDES 147 
Inversement, si l’on sépare la série naturelle (a) en 
groupes de termes consécutifs, de manière que le nombre 
des termes du groupe soit donné par le terme de 
rang n de la suite des impairs (p)^ la somme des termes 
de chaque groupe, du par exemple, est la somme 
de deux cubes : 
Et l’on a d’autre part : 
1 = 1 ^ 
2+ 3+ k= 9 = 1"+ 2^ 
5+ 6+ 7+ 8+ 9 = 35 = 2"+ 3" 
10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 91 = 3" + 4" 
. . ..etc. . . .etc. . .etc. 
Il y a environ une douzaine d’années que nous avons 
énoncé ce dernier théorème (1) dont la démonstration se 
trouve du reste insérée dans cette Revue (2). 
Quant à la première proposition, nous la trouvons 
énoncée, sous une torme un peu différente, dans l’excel¬ 
lent Traité d'Algèbre de M. Joseph Bertrand (3). 
Il n’est peut-être pas inutile de faire remarquer que 
ces propriétés curieuses que nous venons de rappeler, 
ne sont pas spéciales à la série naturelle des nombres et 
à la suite des impairs. 
Si l’on prend, en effet, les deux séries suivantes : 
(P) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31. . 
(y) 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37. . . 
il est aisé de s’assurer qu’elles présentent les mêmes 
propriétés réciproques que les suites (a) et ((3). 
Car, on voit immédiatement que : 
( 1 ) Mathesis. Tome II, Juin 1882 , p. 144 . 
(2) Rev. scient, du Bourb. et du Centre de la Fr. T. V, 1892 , 
p. 221 et suiv. 
( 3 ) J. Bertrand. Traité d’Algèbre, l**® Partie, p. 271 . Ex. VT, A 
vrai dire, cette propriété de la suite des nombres impairs, qui fait 
l’objet de la première proposition, a été indiquée par Nicomaque, 
de Gérase, mathématicien grec du l®*" siècle de notre ère. 
