THÉORÈME d’aRITHMOLOGIE 
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Mais les p premiers groupes de (B) comprennent, 
évidemment, termes. La somme de ces termes est 
donc égale au second membre de (1) où Ton remplace p 
par T'p et l’on a : 
(3) S| -}- So -|- S 3 -f- • 
. . .+S^_, +S^=-T',, + TV(T'^- 1 ) 2 - 
Remplaçant p par p — 1 , on obtient : 
(4) -f- S 2 + S 3 -]- • 
• • • + + S;,-., = T p-^ + ^'p~\ — 1) 2'" 
De (3) et (4), on déduit, par soustraction : 
S,. = (Tp - TV-;) [1 + (TV + TV-, - 1) 2-]. 
Or : TV - TV-, = 1 + (p - 1) 2- 
1 + (TV + TV_, - 1 ) 2 "* = 1 + 2 (p — 1 ) 2 '^ + (p — 1)2 22 "^ 
D’où enfin : 
Sp = [i + {p- 1) 2-]^ 
Un calcul analogue donne : 
SV - (T, - T^_V [1 + (T, + T,_, - 1) 2—V. 
Or ; 
T;. - T^_, ^i + {p-i) 2-+’ 
1 + iTp + T,,_, - 1) 2--^ 
= 1 + (p - 1 ) 2 "^ + (p - 1)2 22 "^ 
D’où l’on tire ; 
SV = [1 + (p - 1 ) 2 -]^^ + [(p - 1 ) 2 -]-'^ 
On peut donc énoncer le théorème suivant : 
Soient données les deux suites générales : 
1, 1 + 2"^ , 1 + 2 . 2 '“ , 1 + 3.2'“. . . . 
1, 1 + 2'“+V 1 + 2.2'“+V 1 + 3.2'“+L . . 
si l’on partage la seconde en groupes de termes consé¬ 
cutifs, tels que le nombre des termes du pème groupe 
soit égal au pème terme de la première, la somme Sp des 
termes de ce groupe est un cube parfait. 
Que l’on intervertisse les rôles des deux séries et la 
somme SV des termes du pème groupe de la première 
suite est la somme de deux cubes. 
G. DE Rocquigny-Adanson. 
