ARITHMÉTIQUE ET JETONS 
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bonne place dans le Traité d’Arithmétique de M.. E. Hum¬ 
bert, édité en 1893. 
La question n’est malheureusement pas aussi avancée 
en ce qui concerne la décomposition des nombres en 
triangulaires. 
Sans doute, dans VEssai sur la Théorie des Nombres 
de Legendre (Paris, chez Duprat, an VI), on peut lire 
p. 398 : Tout nombre impair, excepté seulement les 
nombres 8n -[- 7, est la somme de trois quarrés, et, p. 399: 
Corollaire. — De ce que tout nombre 8n -|- 3 est de la 
forme il s’ensuit que tout nombre entier 
est la somme de trois triangulaires, ce qui est le fameux 
théorème de Fermât dont nous avons déjà parlé. Mais 
une démonstration directe, élémentaire, analogue à celle 
que M. A. Matrot a donnée du théorème de Diophante, 
Bachet ou Fermât, serait, à notre avis, très désirable, et 
elle reste toujours à découvrir. 
Au cours de nos dernières recherches sur cette ques¬ 
tion, nous avons rencontré un nouveau théorème qui 
donne la décomposition en triangulaires des nombres 
triangulaires eux-mêmes. 
Nous allons établir cette proposition en nous servant 
uniquement de boules, de pions du jeu de dames, ou mieu^, 
de simples jetons diversement colorés, et nous ne ferons 
appel qu’aux définitions de la géométrie élémentaire (1). 
C’est sans doute par des procédés de cette nature, au 
moyen de boules par exemple, ou en employant des 
(1) Avec des boules, des billes ou des pions, on peut démon¬ 
trer les propositions suivantes : 
1° Le produit de deux nombres ne change pas lorsque l’on inter¬ 
vertit l’ordre des facteurs, 
2” Le double d’un triangulaire de rang quelconque est le produit 
du nombre qui indique son rang par le nombre suivajit. 
3° La somme des premiers impairs à partir de 1 est égale au 
carré de leur nombre. 
4“ L’octuple d’un triangulaire, augmenté de l’unité, est toujours 
un carré. 
5° Tout carré est la somme du triangulaire de même rang et du 
triangulaire précédent, 
6“ Le triple plus un d’un octogonal est un carré dont le côté est 
le triple moins un du côté de l’octogonal. 
Etc. ..., etc. 
