PROGRESSIONS ARITHMETIQUES 
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Comme on le voit, la première colonne renferme la 
raison qui est en même temps le numéro d’ordre des 
progressions. Dans la deuxième colonne, nous avons 
écrit les premiers termes des progressions successives. 
La troisième colonne présente le terme général ou de 
rang m de chaque suite. On trouve enfin dans la qua¬ 
trième colonne, l’expression de la somme des m pre¬ 
miers termes pour chacune des séries correspondantes. 
Il convient de remarquer que ces sommes ne sont pas 
autre chose que les nombres polygones, trigone ou 
triangulaire, tétragone ou carré, pentagone, hexagone, 
.etc. .... etc.de même rang m. 
Considérons maintenant la première progression du 
tableau ci-dessus, celle dont la raison est 1 et que Ton 
pourrait appeler la progression naturelle : 
1, 2, 3, 4,., 772, . . . * • 
Disposons les ii? premiers termes de cette suite en n 
lignes étagées horizontales composées respectivement 
chacune de 1, 3, 5, 7, . . . 272 — I termes, comme 
il suit : 
1 
2, 3, 4 
5, 6, 7, 8, 9 
(72 — 2) 72 4- 2, . . ., (n — 1)(72 4- 1) 4-1 
Nous remarquons immédiatement que les termes 
d’unè horizontale quelconque forment la somme de 
deux cubes. 
C’est ce que nous pouvons, en effet, vérifier très aisé¬ 
ment. 
1 somme 0^ 4~ 
2, 3, 4 » 13 4- 23 
5, 6, 7, 8, 9 » 23 4-33 
(72 — 2) 72 -|-2, . . ., (72 — 1)(72 4-I)+1 S“° (72 — 1)34-723 
