PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES 
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Nous pourrions continuer ainsi de proche en proche 
la démonstration. 
Mais il nous paraît préférable de considérer l’expres¬ 
sion généraled’uneprogression arithmétique quelconque, 
commençant par l’unité. 
Soit donc la r^ème progression ou de raison r du 
tableau précédent, 
r + 1, 2r -|- 1, 3r -|- 1, . ., r,m — (r — 1), . . 
Disposons les r.n^ — (r — 1). n premiers termes de 
cette progression en n lignes étagées horizontales compo¬ 
sées respectivement chacune de : 
1, 2r -f- 1, 4r -)- 1, 6r 1, . ., 2 (n — 1) r + 1 termes. 
La somme des 2 (n — 1) r -|- 1 termes de la n^ème ligne 
horizontale est évidemment la diftérence A entre la 
somme S des termes des n premières lignes et la 
somme S' des termes des n — 1 premières lignes, de 
telle sorte que l’on doit avoir : 
A = S — S'. 
Si nous désignons par N le nombre des termes de S 
et par N' le nombre des termes de S', nous pourrons 
écrire ; 
S==N + 
S' == N' + 
(N' — 1) N' 
et l’on aura : 
A = N — N' + ^ (N^ - N — N'2 + N') 
A = N — N' + ^ [(N — N', (N + N') — (N — N')l 
(«) A = (N - N') [l + ^ (N + N' - 1) 
Or, N =: r.in? - (r — 1) n. 
N' = r (n — 1)^ — (r — 1) (n — 1). 
