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REVUE SCIENTIFIQUE DU BOURBONNAIS 
On en déduit : 
N + N' 2r (n — 1)^ -\-2n — 1. 
N — N' = 2r (n — 1) + 'l-- 
Remplaçant dans (a), N + N' et N — N' par leurs 
valeurs, il vient : 
A = [2r (n — 1) + 1] 1^ [2r (n — 1)^ -\-2n — 2] j 
A = [2r (n — 1) + 1] [1 + r- (n — 1)^ r {n — 1)] 
En posant r (n — 1) = A, nous remarquons que A est 
de la forme (2A + 1) (A^ + A + f)- 
Nous en concluons immédiatement que l’on a : 
A = [r (n — 1)J^ + [r (n — 1) + 1]^ 
et le théorème est démontré. 
Nous pouvons encore présenter la démonstration de 
la manière suivante. 
Les termes de la progression générale : 
1, r + 1, 2r + 1, 3r + 1, . rm — (r — 1), . . . 
étant disposés en n lignes étagées horizontales, comme 
il a été dit plus haut, la horizontale a pour premier 
terme : r (n — 2] (rn — r + l) + r-|-l ot pour dernier 
terme : r (n — 1) [rn + 1) + 1, le nombre des termes de 
cette horizontale étant d’ailleurs 2 (n — 1) r -)- 1. 
Il en résulte que la somme des termes de la n^ème hori¬ 
zontale est égale à : 
[r(n —2) (rn—r-f-l) + r-l- 14 -^(^—l^rn-j-l) -j-'l] [2 m— 
2 
ou [r^ (n — 1)^ -f- r (n — I) -}- 1] [- (n — 1) r -j- 1] 
ou [r (n — 1')]^ 4-[r (n —1)-f-1]L C.Q.F.D. 
Donc : 
I. — Soit donnée une progression arithmétique de 
raison quelconque r et commençant par l’unité. 
On dispose les termes de cette progression en lignes 
étagées horizontales, de la manière suivante : 
