RÉCRÉATION MATHÉMATIQUE 
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I. — Etablissons le premier point ; 
+• 
C: r:. 2- - 1 
(a) 
On connaît la formule générale : 
cP _ cp~^ rP 
— '^n—1 'U —!• 
En rappliquant à chacun des termes de Informulé (a), 
Remarque : C®_| = 1 
on obtient : 
— 
pO 1 P1 
1 “T — 1* 
— 
Cn-1 + ^n—\ 
r~''n —1 _ 
'-'n - 
r^n —2 r^n — 1 
^n—l ~r —1 
II 
—1 1 /-^n 
—1 —1 • 
Remarque : C^_i = 0. 
Additionnons membre à membre toutes ces inégalités, 
en représentant par S(C„) la somme de toutes les combi¬ 
naisons de n objets, par S(C„_^) la somme des combi¬ 
naisons de n —1 objets de toutes les manières pos¬ 
sibles, etc. 
Il vient 
S(C„) =1+2 S(C„_,) (1) 
On aurait de même, par analogie : 
S(C„_,) = 1 + 2 S(C„_2) (2) 
S(C„_,) = 1 + 2 S(C„_3) (3) 
S(C^) =1+2 S(C,) ’ (n -1) 
S(C|) = 1 (n) 
Multiplions respectivement les 2 membres de la 1*'® éga¬ 
lité par 1, ceux de la 2® par 2, ceux de la 3® par 2^, . . . 
ceux de la (n — 1)® par 2'^-^ ceux de la n® par 2"-^ ; il 
vient : 
S(C„) =1 + 2S(C„_,) 
2 S(C„_,) = 2 + 2^ S(C«_,) 
22 S(C„_2) = 22 +22 S(C„_3) 
2'‘-2 S(’C2) = 2'>-2 + 2"-' S(C,) 
2'—' S(C,) = 2»-' 
