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REVUE SCIENTIFIQUE DU BOURBONNAIS 
Additionnons membre à membre, en réduisant les 
termes semblables, il vient : 
S(C„) = 1 + 2 + 22 + 23 +. . . 2--^ 
c.-à-d. S(C„) = 2" — 1 
C. q. f. d. 
II. — Nous voici arrivés à la seconde proposition. 
Reprenons notre progression 
1, 2, 22,. . . 2^-^ 
qui contient n termes. 
On sait que la somme des termes de cette progression 
géométrique est 
2 ^^ — 1 . 
Le nombre le plus élevé qu’on peut obtenir provient 
évidemment de la combinaison où l’on additionne tous 
les termes de la progression. C’est donc le nombre 2'^ —1. 
Le plus faible est le nombre 1. Il faut prouver qu’on les 
obtient tous depuis 1 jusqu’à 2'^ — 1. D’après la propo¬ 
sition précédente, il est démontré qu’on obtient 2^ — 1 
nombres. Il suffit de montrer que 2 combinaisons diffé¬ 
rentes ne donnent pas le même nombre, ou, en d’autres 
termes, que le même nombre ne vient pas 2 fois. J’établis 
les 3 points suivants : 
1® Les sommes formées uniquement de puissances de 
2 (le nombre 1 étant exclu) sont différentes. 
Prouvons que 
2/> -}- 2'7 -f- 2'- ^ 2^' + 2-7' + 2'-' +. . . 
Remarque. — Si les 2 membres de l’inégalité con¬ 
tiennent une même puissance de 2, si, par ex., q = q\ on 
peut supprimer 2^ et 2*?' ; il restera à démontrer que l’iné¬ 
galité subsiste entre les autres termes. 
Donc, je pose : 
î = P + « 
r — P + j3 
q' — a' 
r' = p' + p' 
on aura 
2»(l + 2“ + 2^ +. . .) ^ 2^1 + 2*’ + 2 ?' +. . .) 
