LES NOMBRES TRIANGULAIRES 
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Voici par quel enchaînement de considérations nous 
avons été conduits à ce théorème. 
1®. — Le reste de la division par 3 d’un nombre trian¬ 
gulaire est 0 ou 1, jamais 2 (1). 
En elïeL que l’on imagine un triangulaire quel¬ 
conque^ celui de rang a par exemple, et formé de 
^ boulets. On peut décomposer ce triangle en 
enceintes triangulaires (2) concentriques à son périmètre 
et constater aisément que chacune de ces enceintes, 
composée d^une seule file triangulaire de boulets, est 
toujours un multiple de 3. 
Toutefois, si a est de la forme 3n -|- 1, la dernière 
enceinte concentrique intérieure se réduit à l’unité. 
En résumé, tout triangulaire de l’une des formes 
(S??/ —^— d.) 
— ^ —- divisé par 3 donne pour reste 0 et tout trian- 
(3n -f 1) (3n -f 2) 
gulaire de la forme 
divisé par 3 laisse 
pour reste 1. 
2°. ^— Si un multiple de 3 est la somme de deux trian¬ 
gulaires, ces deux triangulaires sont des multiples de 3. 
En effet, tout nombre triangulaire étant exclusivement 
de l’une des formes m.3 ou m.3 -f- 1, la somme de deux 
triangulaires est nécessairement de l’une des formes : 
m'.3 -j- m'^3. 
m'.3 -f- m'".3 -|- 1. 
m'.3 -|- 1 -f- m"."d -(- 1. 
Mais, par hypothèse, cette somme doit être ici un 
multiple de 3 ; il en résulte que la première combinaison 
seule est possible. 
3*^ ™ Si un multiple de 3 est la somme de trois trian- 
(1) Voir nos Questions d'arithmologie^ Mathésis, t. VI, p. 223 
et suiv. 
^2) a étant de l’une des formes 3p — 2, 3p — 1, 3p, le nombre des 
enceintes triangulaires concentriques est égal à p. 
