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REVUE SCIENTIFIQUE DU BOURBONNAIS 
gulaires, ces triangulaires sont tous les trois multiples 
de 3 ou tous trois multiples de 3 + 1. 
La somme de trois triangulaires ne peut être, en eftet, 
que de l’une des formes : 
m'.3 + + m'".3. 
m'.3 -|- -{- ?7 i'". 3 -f- 1. 
ur'.d + mL3 + 1 + m"'.3 + 1. 
m'.3 i 7n".3 -j- 1 -)- in ' .S -f- 1. 
et il est clair que les première et quatrième combinaisons 
sont seules acceptables. 
Avant d’aller plus loin, il nous a paru utile de vérifier, 
dans de certaines limites, l’exactitude du théorème 
énoncé. 
Nous avons donc formé deux tables comprenant^ 
l’une, les multiples de 3 eL l’autre, les nombres triangu¬ 
laires multiples de 3, et nous avons cherché à composer 
chacun des nombres de la première avec trois nombres 
au plus, choisis dans la seconde. 
Nous avons ainsi reconnu très rapidement que, pour 
les cinquante premiers multiples de 3, la proposition ne 
se trouvait jamais en défaut. 
Ecrivons donc maintenant l’équation : 
Sx {Sx ±1) , Su (Su ±1) Sz (Sz dz 1) 
3n=:-2- -+ -2-■■ 
Nous en déduirons successivement : 
Qn r=: 9x- d;: 3.v -}- 9^^ =i= Sy -j- 9,c- dz Sz. 
ou 24n = SSx- dz 12 j: + 36^^ ±\2y 36z- dz 12z. 
ou 
2472+3=dGx'-'dz 12x +1 + 36^2 + ^2^1-f-36z2 zb 12z +1. 
ou enfin 
3 (872 -|- 1) = (fix dz 1)^ -|- (Sy dz 1)- -f- (6" zb 1)- 
Or, on sait que tout nombre de la forme 2472 + 3 est 
la somme de trois carrés. 
De plus, ces trois carrés doivent être tous les trois 
impairs. Car, si on les suppose tous les trois pairs, 
ou bien un impair et deux pairs, ou encore deux impairs 
et le troisième pair, on se heurte, dans chaque cas, à 
une impossibilité. Il est facile de le reconnaître. 
