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REVUÈ SCIENTIFIQUE DU BOURBONNAIS 
théorème reste toujours vrai, dans toute l’étendue de la 
série des nombres entiers. 
Formons donc, d une manière générale, la ligne 
horizontale du tableau (A). 
Cette horizontale sera évidemment composée des 
2n — 1 termes suivants : 
[(n-l)2 + l] + [(n-l)2 + 2] + ..... 
. . . + [(n — 1)2 + 2n — 2] + [(n — 1)^ + 2n — 1]. 
Effectuant la somme de ces termes, nous trouverons : 
{n — 1)2 (2n — 1) + i 
ou : (2n — 1) [(n — 1)^ + n] 
ou : (2n 1) (n^ — n + 1) 
ou enfin : (n — 1)^ + 
et le théorème est démontré. 
On peut employer aussi un autre mode de démons¬ 
tration. 
Dans la formule : 
1 “}- 2 -j- 3 “1“.“|~ m — 
m (m + 1) 
2 ~~ 
faisons successivement m = n^y m = {n — 1)^ et écri vons 
les deux égalités : 
1 + 2 + 3 +..... + (n - 1)2 + [(n - 1)2 + 1] 
+ [(n - 1)2 + 21 +.+ n2 = 
1 + 2 + 3 + . . . + (r — 1)^ — 
(n — 1)2 [{n — 1)2 -|- 1] 
2 
Soustrayant la seconde de la première, nous aurons : 
[(n-l)2 + l] + [(n-lj2 + 2] +. 
, ^2 _ + 1 ) [(^—+ 1 ] 
• • • • I ^ '2 ^ 2 
— (n — 1)2 r\- 
1". — Des n premières égalités du tableau (A) on peut 
déduire la relation : 
1)«-^ n^rrrl — (2 + 3 + 4) + (5+6-(-7 + 8 + 9)— . . 
... + (- 1)"-' |[(n - d )2 - 1)2 + 2] + . .. 
. + . + 
