ARITHMOLOGIE 
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2°. — En ajoutant les mêmes égalités on trouve : 
2 (13 -I- 2-^ + 3^ + .... + 72^) 
+ (1 + 2 + 3 +.+ 
{'n? + 1 ) 
= n^ +-2- 
_(n + 1 )^ 
2 
D’où l’on conclut la formule connue S 3 — S,„ 
désignant la somme des puissances mêmes premiers 
nombres entiers. 
30 . — Voici une nouvelle démonstration de l’égalité 
S3 = S^ 
Si l’on partage la suite des nombres impairs en 
groupes tels que le groupe de rang n comprenne 2n 
nombres : 
1, 3, 
5, 7, 9, 11 , 
13, 15, 17, 19, 21, 23, 
. . . . . • . . etc... 
les n premières lignes renfermeront n (n -f- 1 ) nombres 
dont la somme est égale à (n + 1 )^ ; les (n — 1 ) pre¬ 
mières lignes ont pour somme (n — 1 )^. 
Donc le n^me groupe vaut : 
(n + 1 )^ — (n — 1 )^ 7Z^ = 4n^ 
et la somme des premiers groupes s’exprime encore 
par 4 S 3 . 
Par suite : 
n 2 (n + l)^ 
^3 — ^ 
4°. — En terminant, si le le lecteur veut bien prendre 
la peine de disposer la suite des nombres impairs^ 
ainsi que nous l’avons fait pour les nombres entiers du 
tableau (A), 
1 
(B) 3, 5, 7 
9, 11, 13, 15, 17, etc... 
