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REVUE SCIENTIFIQUE DU BOURBONNAIS 
2 e proposition : 
Tout multiple d’une puissance quelconque d'un nombre 
entier n est la somme de n nombres entiers formant une 
progression arithmétique dont la raison est 2. 
% 
On obtiendra facilement, en raisonnant comme ci- 
dessus : 
hyi p = [ kn p — { — (n — 1)] -j- [kn p — 1 — [n — 3)] -f~ • • • 
. . . -f- [kn p -j- n — 1J. 
Cette seconde proposition comprend celle de M. de Roc- 
quigny en faisant k = 2 et p = 3. 
2n 3 = [2n 2 — (n — 1)] -j- [2n 2 — (n — 3)J + • • • 
. . . + [2 n 2 -f- n — 1]. 
Cette progression comprend n impairs consécutifs si 
n est pair et n pairs consécutifs si n est impair. 
Et les nombres de cette progression sont compris 
entre les 2 triangulaires suivants de même parité, diffé¬ 
rents de celle des nombres en question : 
(2n — 1) 2 n 2n (2 n -4- 1) 
2 2 ’ 
On démontrera de la même manière 2 autres proposi¬ 
tions dues à M. de Rocquigny : 
3 e proposition : 
Si i est un impair quelconque , i^ est la somme de 
i nombres entiers consécutifs. 
Posons : 
ip — x + (x + 1 ) + . . . . (x + i — 1 ) 
D’où 
x = i p — h — 
i — 1 
2 * 
i p = 
i p -\ 
i — i 
] + \ iP 1 - l ~^r] + • • • 
• • • + + ~~ 2 ~ ] 
