RÉUNION SCIENTIFIQUE 
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cette identité ne peut exister avec des nombres entiers 
que si i est impair. 
4 e proposition : 
i p est aussi la somme de 2i nombres entiers consécutifs. 
On trouve par le même procédé : 
iP-' — 2i + i , iP-' 2 i + 3 
%p — 
+ 
iP-' + 2i — 1 
2 1 2 
ce qui suppose toujours i impair. 
Remarque : 
En appliquant la formule de la 2 3 proposition ci-des- 
sus aux cubes des nombres n et n -f- 1, on obtient : 
n 3 = [n 2 — n -f- 1] + [w 2 — n 3] + • . . -f- [^ 2 + n — 1] 
n + l) 3 = [(n + l) 2 - n] -j- [(n -f l) 2 — n -f- 2] -f- • • • 
• • • + [( n + l) 2 + n ]* 
Faisons la différence entre le 1 er terme de la 2 e série et 
le dernier terme de la l re série : 
[(n + ^) 2 — n ] — \ n 2 n — 1) = 2. 
De sorte que les nombres impairs de ces 2 séries 
forment une même progression arithmétique. 
Donc la somme des n premiers cubes : 
l 3 -4- 2 3 4- 3 3 4- 
rv 
forme une progression arithmétique des nombres impairs, 
dont le premier terme est 1 et le dernier (n 2 -j - n — 1), et 
qui contient 
n {n 1) 
termes. On sait que la somme 
dune suite de nombres impairs commençant par l’unité 
donne un carré parfait. 
Faisons la somme des termes de cette progression 
arithmétique d’après la formule : S = [ -— 1 L — 
J* 
Il vient : 
