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REVUE SCIENTIFIQUE DU BOURBONNAIS 
de même rang augmenté d’autant de fois le triangulaire 
de rang précédent, qu’il y a d’unités dans son côté 
diminué de 3. 
Or, nous avons démontré (1) que tout nombre trian¬ 
gulaire, sauf 1 et 6, peut toujours être décomposé en trois 
triangulaires effectifs, aucun des composants n’étant 
égal à zéro. 
En effet, si P 
n (n + 1) 
2 
désigne un nombre trian¬ 
gulaire quelconque, n ne peut être que de l’une des 
formes : 3p — 1, 3p, 3p + 1, et nous avons les trois for¬ 
mules (2) : 
,,, (3p — 1)3p_(2p — 1)2p , (2p — l)2p , pip + l 
1 2 2 ' 2 2 
,o\ 3p(3p + d)_2p(2p + lï , 2p(2p + l) , p (p — 1) 
^ 2 ~ 2 I 2 I 2 
,o, (3p + 11 (3P + 2) _ 2p (2p + 1) , (2p + 1) (2p + 2) 
° 2 2 2 
, p (p +1) 
’- 2 -' 
Il en résulte que le second membre de l’égalité (e) est 
composé de m triangulaires et le théorème est démontré. 
En conséquence : 
Tout triangulaire est somme de trois triangulaires. 
Tout carré est somme de quatre triangulaires. 
Tout pentagone est somme de cinq triangulaires. 
Tout hexagone est somme de six triangulaires. 
(1) Rev. sc. du Bourb. et du Centre de la Fr ., T. X, 1897, p. 41 et 
suiv. 
(2) La formule (2) devient illusoire si p = 1 ; c’est l’unique 
exception du triangulaire 6. 
