THÉORÈME 
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indique son rang, augmenté d’autant de fois le triangu¬ 
laire de rang précédent, qu’il y a d’unités dans son côté 
diminué de 2. 
Remplaçons dans (a), m par m — 1, nous aurons : 
p = - 3) n 2 - (m - 5) n ^ 
Retranchons (y) de (a), et il viendra : 
P (“») - P ('—•.) = n - ( A p - lj (5). 
La relation (S) fait voir que tout nombre polygonal de 
m côtés est somme d’un polygone de m — 1 côtés et 
d’un triangle. 
Ecrivons les égalités successives : 
P( m ») = P + P l 3 „- ( ) 
P (”-\) = P (»-’„) + P 
P ('”-\) = P r-\) + P (V_,) 
P ( m -\) =. 
• — P {'n) + P Pra-l) 
P ( 5 „) = P (\) + P (*_,) 
P (V = P ( 3 „) + P (*»-,) 
Faisons-en la somme, nous trouverons : 
P ( m n) = p ( 3 ,J + (m - 3) P ( 3 „_,) (e) 
On peut aussi déduire plus rapidement : 
P _ (m — 2) n ' 2 — (m — 4) n 
2 
— n 2 -f- (m — 4) ——- 
= n-^fl) + (m _ 3) n (n- 1) 
c’est-à-dire que tout polygonal est égal au triangulaire 
