THÉORÈME 
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THÉORÈME 
Tout nombre polygonal de m côtés ( 1) est décompo- 
sable en m triangulaires, tous différents de zéro ( 2 ). 
Il ne sera peut-être pas inutile de rappeler tout 
d’abord en quelques mots ce que l’on entend par nombres 
polygones ou polygonaux. 
A cet effet, considérons les différentes progressions 
arithmétiques qui commencent toutes par l’unité et dont 
les raisons sont successivement : 1, 2, 3, 4,..., r, ... etc... 
Nous obtiendrons ainsi le tableau suivant : 
Progressions arithmétiques. 
1 , 
2 , 
3, 
4, . . . 
n 
? 
1 , 
3, 
5, 
7, . . . 
., 2 n 
-1. 
1 , 
4, 
7, 
10 , • . 
3n 
- 2, 
1 , 
5, 
9. 
13, . . . 
., 4 n 
- 3, 
i, 
6 , 
11 , 
16, . . . 
., 5n 
- 4, 
1 , 
7, 
13, 
19, . . . 
., 6n 
- 5, 
1, r-j-1, 2r-f-l, 3r-j-l, 
rn — (r 
En effectuant la somme des 1 , 2, 3, 4,..., n,... premiers 
termes de chacune des progressions précédentes, nous 
déterminerons les termes de rangs : 1 , 2 , 3 , 4 ,.., n,... de 
chacune des séries correspondantes des nombres poly¬ 
gones. 
t 
(1) L’unité est évidemment exclue. 
(2) Sauf l’exception unique du triangulaire 6. 
