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Man kann häufig die Frage hören: Warum beschäftigt sich 
der Mathematiker mit den abstraktesten Dingen, mit Zahlen- 
theorie, Funktionentheorie u. s. w., die doch gar keine Anwen- 
dung finden? Darauf würde ich antworten: Wer kann die Ent- 
wicklung voraussehen? Ein griechischer Mathematiker, Apollo- 
nius von Perga, hat ums Jahr 250 vor Chr. ein Buch über 
Kegelschnitte geschrieben, ohne im mindesten an eine Anwen- 
dung zu denken; Joh. Kepler hatte den alten Apollonius studiert 
und daraus erwuchs ihm der Gedanke, sein Zahlenmaterial da- 
raufhin zu prüfen, ob es nicht diesen merkwürdigen Kurven sich 
anpasse; und siehe da, es ging; das Gesetz der elliptischen Pla- 
netenbewegung war entdeckt; die abstrakten Untersuchungen 
des alten Griechen hatten eine eminent praktische Bedeutung 
gewonnen. Die Erfinder der imaginären Zahlen konnten nicht 
ahnen, welche Wichtigkeit ihre Erfindung einst für das Studium 
der Elektrizitäts- und Wärmeströmung, für die Kartographie 
und andere Gebiete erlangen würde; das Adjektiv imaginär be- 
weist dies zur Genüge. Der Mathematiker beschäftigt sich so- 
gar mit Räumen von mehr als drei Dimensionen, die nur in 
seiner Phantasie existieren. Wie’ man aber ein‘ räumliches 
(sebilde in der Malerei auf eine Fläche abbildet, so kann man 
auch den vierdimensionalen Raum auf unsern bekannten drei- 
dimensionalen abbilden und eine dieser Abbildungen hat, wie 
Kummer fand, ein physikalisches Interesse, indem sie auf die- 
selbe Differentialgleichung führt wie die Untersuchung der 
Gestalt eines durch die Atmosphäre unter bestimmten Annahmen 
gebrochenen Lichtstrahls. 
Dem oben angeführten Einwand kann man überhaupt durch 
folgende Überlegung begegnen: Wenn bei gewissen Problemen 
unsere Formeln auf imaginäre oder unvorstellbare Grössen führen, 
so ist dies doch nur ein Zeichen dafür, dass sie umfassender sind, 
als die Bedeutung, die ihnen unterlegt wurde; und dass es einen 
umfassenderen Ausdruck für die Probleme gibt, der auch solche 
Fälle mit einschliesst, die einer beschränkten Auffassung unzu- 
gänglich sind. Denn die „Formel ist noch mächtiger als die 
Phantasie: sie umfasst alle Fälle, die je ausgedacht wurden und 
in Zukunft ausgedacht werden können. 
Diese zweite Antwort auf den erwähnten Einwand führt mich 
nun zum zweiten Teil meiner Ausführungen, nämlich auf die 

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