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Streitschriften veröffentlichte.!) Seine Einwürfe wurden jedoch 
aufs glänzendste widerlegt durch Lazare Carnot (1797), dessen 
„Retlexions sur la metaphysique du Calcul infinitesimal“ zu den 
interessantesten Abhandlungen auf diesem Gebiet gehören. Wenn 
heutzutage der Streit um den Differentialbegriff im wesentlichen 
beigelegt ist, so ist dies in erster Linie das Verdienst der Mathe- 
mathiker Cauchy und Weierstrass. 
| Von ganz besonderer Bedeutung sind in neuerer Zeit die 
philosophischen Untersuchungen über den Zahlbegritf gewor- 
den. Bei der einfachsten Definition der Zahl, die mit Hilfe der 
sogenannten Mengenlehre geschieht, auf die ich jedoch hier 
nicht näher eingehen kann, ergibt sich die Richtigkeit der ein- 
fachen Rechnungsregeln ganz von selbst. Daraus folgt dann, 
dass der Satz 5+7=12 nicht, wie Kant meinte, ein synthetisches, 
sondern ein analytisches Urteil, d. h. dass er eine Konsequenz 
aus den Begriffen 5, 7 und 12 ist. Dagegen sind die arith- 
metischen Wahrheiten, die sich nicht auf andere zurückführen 
lassen, d. h. die arithmetischen Axiome synthetische Urteile 
‚a priori im Sinne Kants: sie sind ein ursprünglicher Besitz un- 
seres Geistes. Das wichtigste dieser Axiome ist dasjenige, dass 
der menschliche Geist überzeugt ist, sich die unendliche Wie- 
derholung eines Schrittes vorstellen zu können. Man nennt dieses 
Axiom den Satz von der vollständigen Induktion; auf eine For- 
mel gebracht, lautet er so: Man beweist einen Lehrsatz zuerst 
für die Zahl n=1; hierauf zeigt man, dass er für ein beliebiges n 
richtig ist unter der Annahme, dass er für die vorhergehende 
ganze Zahl n— 1 stimmt, und man folgert daraus, dass er für 
alle ganze Zahlen gilt. 

Durch eine endliche Anzahl fortgesetzter Syllogismen könn- 
ten wir nie etwas neues entdecken: dass die Mathematik nicht 
eine ungeheure Tautologie ist, verdanken wir eben diesem Ver- 
fahren der vollständigen Induktion.?) Auf die ausserordentlich 
interessanten philosophischen Untersuchungen über die Mengen- 
lehre, die irrationalen Zahlen u. s. w. näher einzugehen, ver- 
bieten mir Raum und Zeit; ich begnüge mich mit einem Hinweis 
auf einige wichtige Abhandlungen.’) 
1) „The Analyst“ und „A defence of freethinking in mathematics.* 
2) Vergl. Poincar&: Wissenschaft und Hypothese. 
3) Dedekind: Stetigkeit und irrationale Zahlen. — Derselbe: Was sind 
und was sollen uns die Zahlen? — Russel: The principles of mathe- 
matics. Cambridge 1903. — Über die Mengenlehre: Schönflies: Jahres- 
bericht d. Deutsch. Math. Vereinigung. VIII. 2. 
