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Noch enger ist die gegenseitige Befruchtung der. Ideen 
zwischen der Geometrie und der Philosophie, wobei namentlich 
das Raumproblem eine Rolle spielt. Die Geometrie war seit Euklid 
im Besitz eines festen, auf Axiome gegründeten Systems; diese 
Axiome hielt Kant noch für synthetische Urteile a priori. Die 
neuere Mathematik hat überzeugend nachgewiesen, dass sie ein- 
fach verkleidete Definitionen, d. h. auf Übereinkommen beruhende 
Festsetzungen sind. Namentlich gilt dies von dem vielumstritte- 
nen Parallelenaxiom, das aussagt, dass man durch einen Punkt 
nur eine Parallele zu einer Geraden ziehen könne. Gauss hat 
zuerst gezeigt, dass dieses Axiom nicht von den andern abge- 
leitet werden kann und nach ihm wiesen Bolyai und Lobat- 
schewsky nach, dass auch eine widerspruchslose Geometrie ent- 
steht, wenn man dieses Parallelenaxiom als ungültig ansieht. 
Für Kant war die euklidische Geometrie von absoluter (Gewiss- 
heit. Da man aber durch fortgesetztes Arbeiten mit Svllogismen 
nie mehr herausziehen kann als man hineingelegt hat, so legte 
Kant der Raumanschauung eine vor aller Erfahrung beigegebene 
Fähigkeit bei, die Transzendentalität; ausserdem erklärt er, dass 
alle Axiome Euklids aus der reinen Anschauung stammen, weil 
eben alle Folgerungen stets zu richtigen Resultaten führen. 
Jetzt wissen wir, dass auch andere Axiome zu widerspruchslosen 
Systemen führen. Durch die Arbeiten von (sauss, Bolyai, Lobat- 
schewsky, Beltrami, Riemann, Helmholtz, Klein, Lie und Hilbert 
sind wir dahin gelangt, dass wir ein System von Grundtatsachen 
angeben können, aus dem ohne Benutzung weiterer Anschau- 
ungselemente die euklidische Geometrie durch rein logische 
Schlüsse hergeleitet werden kann. Von diesem System kann 
man zeigen: 1) dass die Axiome von einander unabhängig sind 
und 2) dass das System in sich selbst widerspruchslos ist. Man 
hat ferner den Einfluss der einzelnen Axiome auf die Geometrie 
untersucht und durch Weglassung dieser oder jener Gruppe 
ebenfalls logische, aber von unserer gewöhnlichen weit abweichende 
Greometrien konstruiert, was für die Lehre von der Rauman- 
schauung von weittragender Bedeutung gewesen ist.!) Die Dis- 
kussion über diese Fragen ist aber heute noch nicht abgeschlossen. 
Die Wiederbelebung des philosophischen Interesses und beson- 
ders die an Kant anschliessende Richtung haben bewirkt, dass 
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') Vergl. Rosanes: Charakteristische Züge in der Entwicklung der Mathe- 
matik des 19. Jahrhunderts. Jahresber. d. deutsch. Math. Vereinigung 
Bd. 13. 
