Wie lassen sich mit möglichst wenig Ziffern 
möglichst grosse Zahlen darstellen?” 
Von Öberstudienrat Neuffer. 

Die folgende Untersuchung hat es bei ihrem Hauptgegen- 
stand ‚mit eigentlichen Zahlen d. h. mit Zahlen zu tun, denen 
die Mathematik die Eigenschaften positiv, ganz, reell beilegt. 
Das ursprüngliche Verfahren der Bildung solcher Zahlen 
ist das Zählen und zwar das Vorwärtszählen. Dieses lässt sich 
abkürzen durch die Addition, die Addition hinwiederum, bei 
Gleichheit der Summanden, durch die Multiplikation, die Multi- 
plikation endlich, bei Gleichheit der Faktoren, durch die Poten- 
zierung. Weitere Stufen der Abkürzung bestehen nicht. Jene 
drei Abkürzungen führen zu den drei zusammengesetzten Zahl- 
formen der Summe, des Produkts und der Potenz, für zwei 
Zahlen a und b zu den Formen a +b, a.b, a® und b?. a und b 
bilden nur eine Summe und ein Produkt, aber zwei Potenzen. 
Dies ist die Folge davon, dass die Summanden einer Summe und 
die Faktoren eines Produkts vertauscht werden können, Potenz- 
grundzahl und Potenzexponent aber nicht. 
Für Summe, Produkt und Potenzen aus zwei eigentlichen 
und überhaupt aus zwei positiven reellen Zahlen stellen wir folgende 
(im Anhang zu beweisende) Sätze auf: 
I. Summe, Produkt und Potenz aus zwei positiven reellen 
Zahlen wachsen mit diesen; doch muss bei Potenzen die Grund- 
zahl grösser als I sein, wenn sie mit dem Exponenten wächsen 
sollen. | 
II. Jede Potenz aus zwei positiven reellen Zahlen ist grösser 
als ıhr Produkt, ihr Produkt grösser als ihre Summe, wenn die 
eine der Zahlen grösser, die andere nicht kleiner als 2 ist. 
*) Nach einem am 28. November 1910 im Verein für Mathematik 
und Naturwissenschaiten in Ulm gehaltenen Vortrag. 

