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lichkeiten aufzustellen, eine gewisse Anzahl von Mark in den 
oben genannten 8 Münzsorten auszubezahlen. 
Die folgenden Ausführungen bringen am Schluss eine all- 
gemeine Formel für die Ausbezahlung von 100 (2n + I) Pfen- 
nigen in diesen 8 Münzsorten, woraus sich dann für n = I sofort das 
gewünschte Resultat für die Anzahl der Möglichkeiten, einen 
Taler, nämlich 300 Pfennige, in den obigen Münzsorten umzu- 
wechseln, ergibt. 
Die Herleitung der betreffenden allgemeinen Formel ist je- 
doch nicht so einfach, als man es auf den ersten Blick sich viel- 
leicht vorstellen mag. Die Herleitung muss Schritt für Schritt 
erfolgen und mit den untersten Münzsorten beginnen. 
Sollen IOnPfennige in Zweipfennig- und Einpfennig- 
Stücken ausbezahlt werden, so können offenbar auf so viele 
Arten Zweipfennigstücke benützt werden, als die Zahl 2 in der 
Zahl 10n enthalten ist, d.h. auf 5n Arten, wobei der Rest immer 
in Einpfennigstücken ausbezahlt wird, ausserdem kann die ganze 
Summe noch auf I Art in lauter Einpfennigstücken bezahlt werden. 
Die gesuchte Zahl der Arten ist also = 5n+ 1. So kann man 
z. B. 30 Pfennig auf (5.3 + 1)=:16 Arten, 40 "Pfennige7aur 
(5..4.+-1) —=.21' Arten, 50.Pfennige auf (5254 7) = 20 Arten 
Zwei- und Einpfennig-Stücken ausbezahlen. 
Sollen ferner (10n — 5) Pfennige in Zweipfennig- und Ein- 
pfennig-Stücken ausbezahlt werden, so kann man hier nur so oft 
mal Zweipfennigstücke benützen, als die Zahl 2 in (lIOn —5 —l) 
d.h. in (10n — 6) enthalten ist, d.h. (5n — 3) mal, wobei zum 
Bezahlen des Restes immer Einpfennigstücke zu benützen sind. 
Ausserdem kann, wie vorhin, die ganze Summe noch auf 1 Art in 
Einpfennigstücken bezahlt werden, im ganzen also auf ($n — 3+ 1) 
oder auf (5n — 2) Arten. So können z. B. 35 Pfennig auf 
(5.4 — 2), d. h. auf 18 Arten und 45 Pfennig auf (5.5 — 2), 
d. h. auf 23 Arten in Zwei- und Einpfennigstücken ausbezahlt 
werden. 
Geht man nun einen Schritt weiter und benützt auch das 
Fünfpfennigstück zum Ausbezahlen, so erhält man zunächst 
folgende Ausbezahlungsmöglichkeiten; | 

