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Diese Werthe von w und w' mit ihren zugehörigen Bogen stellen die 
Figuren 4 und 2 dar. Man kann in ihnen den Halbmesser nach seinen 
verschiedenen Lagen als das der Lage des Tons gegen den Grundton 
entsprechende Bild ansehen. Oc stellt dann den Grundton, Od? die kleine 
Secunde, Od die grosse Secunde, Oe? die kleine Terz vor u. s. w.; durch 
Oh, die grosse Septime, kehrt endlich in Oc, der Octave, der Ton zur 
Lage des Grundtons zurück. Im Uebrigen rechtfertigt sich hier die Be- 
nennung der Sexten und Septimen als umgekehrter Terzen und Secunden 
auch anschaulich. Denn lässt man den Halbmesser, nachdem er den 
ganzen Umfang des Kreises beschrieben, umkehren, so sind die Secun- 
den und Terzen, die er dann von der Octave aus erzeugt, die Seplimen 
und Sexten des Grundtons. Ebenso fällt die durch diese umgekehrte 
Drehung beschriebene Quarte mit der Quinte des Grundtons zusammen.*) 
g 23. 
Diese Drehung des Halbmessers giebt jedoch von der Veränderung, 
welche der Ton erleidet, wenn er von dem Grundton allmälıg zur Octave 
übergeht, nur ein unvollständiges Bild; denn die Octave ist bei aller 
Verwandtschaft mit dem Grundton doch ein von diesem unterscheidbarer 
Ton. Man sagt nun zwar, sie sey der Grundton in einer höheren Lage, 
ohne aber darüber eine deutliche Auskunft zu geben. Nahe genug liegt 
hier die Bemerkung, dass, da die Aenderung der Töne eine allmälıge ist, 
diese höhere Lage nicht plötzlich, erst mit der Octave, eintreten kann, 
sondern ein stetiger Uebergang zu ihr stattfinden muss. 
Wir erhalten hierüber eine völlig genügende Aufklärung, wenn wir 
der Gleichung y —= 2”, die den Zusammenhang zwischen der relativen 
Schwingungszahl y eines Tons und seinem Intervall « mit dem Grund- 
ton darstellt, eine angemessene geometrische Auslegung geben. Wie 
nämlich die Werthe von & durch Bogen eines Kreises, so können die 
Werthe von y durch gerade Linien dargestellt werden, die in den End- 
punkten jener Bogen senkrecht auf der Ebene des Kreises stehen. Offen- 
bar liegen dann diese die Werthe von y darstellenden Geraden in der 
krummen Fläche eines Cylinders, der jenen Kreis zur Basis hat, ihre 
Endpunkte in einer sich um den Cylinder windenden logarithmischen 
*, Auf diese bildliche Darstellung hat uns eine Stelle in Newtön’s Optik (Lib. I. 
Pars 1I. Prop. VI) geleitet, auf die wir im Il. Anhang zurückkommen. 
