ÜBER MUSIKALISCHE TONBESTIMMUNG UND TEMPERATER. 37 
Spirale. Da für —= 0, y=1, so ist der Abstand des dem Grundton 
entsprechenden Punktes dieser Spirale von der Basis des Cylinders — 1; 
und da für x — I, y== 2, so ist der Abstand des der Octave entspre- 
chenden Punktes doppelt so gross. Jeder zwischenliegende Ton, für 
welchen immer 1>2>0 und2>y> 1, hat seinen entsprechenden 
Punkt in der Spirale. Hiernach stellen also x und y die Coordinaten einer 
logarithmischen Spirale auf der Fläche eines geraden Cylinders dar, und 
kann yals die absolute Höhe des Tons, x als seine Abweichung 
von der Richtung des Grundtons bezeichnet werden. 
$ 24. 
Setzt man y — 1 = u, so drückt u die relative Höhe des durch 
die relative Schwingungszahl y gegebenen Tons in Bezug auf die Höhe 
seines Grundtons, oder kürzer dieErhebung des Tons über den Grund- 
ton aus; dann ist also 
u— 2? —1. 
Die Werthe von u werden dargestellt durch die Abstände der Punkte 
der Spirale von der Ebene des Kreises, die parallel zu der Ebene der 
Basis durch den Punkt der Spirale gelegt wird, welcher dem Grundton 
entspricht; oder z und y sind die Coordinaten der Spirale, welche sich 
auf diesen der Basis parallelen Schnitt des Cylinders beziehen. 
Dies veranschaulicht Figur 3, in der ce, 9, h c den eben bezeich- 
neten Kreis, ceg hc die Spirale auf der CGylinderfläche perspectivisch 
darstellt. Wie man leicht erkennt, bezeichnen die Buchstaben c, d®, d, 
e’, e u.s. w. die den gleichnamigen Tönen in der Spirale entsprechenden 
Punkte; die Bogen cdı, cd,, ce}, ce, u.s.f. oder die ihnen zugehörigen 
Mittelpunktswinkel cOd}, cOd,, cOel, cOe, u. s. w. stellen die Abweichun- 
gen der Töne d’, d,, e!, e, u.s.w. von der Richtung des Grundtons c 
oder die Intervalle dar; ferner die Geraden d’d?, dd,, e’e}, ee, u. Ss. w. 
die Erhebungen derselben Töne über den Grundton. Die Töne selbst 
endlich, deren Verschiedenheit von dem Grundton hiernach eine aus der 
Abweichung und Erhebung zusammengesetzte ist, werden nach 
beiden Unterschieden ihrer Lage gegen denselben dargestellt durch die 
Linien 1d’, 2d, 3e’, ke u.s.f., die den Halbmessern Od}, Od,, Oel}, Oe, 
u.s. f. des Grundkreises resp. parallel sind. Der Octave entspricht also 
die Linie 12c, welche der Oc parallel ist. Man kann demnach sagen, 
