58 M. W. Drosiscn, 
ag, ceelig, lg, ee ee 



hat=4095; 
20, d—21g, m—224, 5— 239, B—2lg, 5 254, 
= 260, 
[E—=%1g, ur 28muns RB 
E ben so folgt auf f} 
nd — ee —40g,, allg, da=4197 0 VB 
[5 = 113g, 
189, = 1%, 72%, —21g; 
3b N 
[3 = 229: 
239, ee —24q u. 8.1: 



Sea Ve 2135 
h3 100,05 Age 


Ab 
Mn 
Alle diese mehrfach. erhöhten und erniedrigten Haupttöne können 
nun auf den Raum zwischen dem Grundton und seiner Octave überge- 
tragen werden, und so würden zwischen diese Grenzen unendlich viele 
Töne fallen, wenn alle diese Bestimmungen wirklich verschiedene Töne 
gäben. Es lässt sich aber zeigen, dass dies zwar der Fall ist, wenn q 
das Intervall der reinen Quinte bezeichnet; dass jedoch die Verschie- 
denheit eine endliche Grenze erreicht, wenn q das Intervall einer ir- 
gendwie temperirten Quinte darstellt. 
Da nämlich en S 15, (2) der genaue Ausdruck ie as: der 
lo g log 
des Intervalls der reinen Quarte — 55 
oO 
verhält sich das Intervall der Quinte zu dem der Octave wie log 5.:log 2, 
«|» 

reinen Quinte — TEE ist, SO 
das Intervall der Quarte zu dem der Octave wie log; :log2. Hieraus 
folgt die Incommensurabilität der Intervalle der reinen Quinte und 
Quarte mit dem der Octave. Dasselbe Resultat giebt die Vergleichung 
ihrer relativen Schwingungszahlen. Ständen nämlich die genannten Inter- 
valle in rationalen Verhältnissen, so müsste die Vervielfachung des 
Quintenintervalls auf irgend eine Octave des Grundtons führen, daher es 
irgend eine ganze positive Zahl n geben, für welche +)" oder (+)' 
einer ganzen positiven Potenz von 2 gleich würde, was unmöglich ist. 
Wird dagegen die Quinte temperirt, so dass ihr Intervall zu dem 
der Octave in dem rationalen Verhältniss m :n steht, also — - ist, wo 
m und n relative Primzahlen sind, so müssen dann immer n temperirte 
Quinten genau gleich m Octaven seyn, so dass die nte Quinte irgend 
eines Tons mit der mten Octave desselben Tons, die (n+!)te, m +2)te, 
(n+3)te Quinte u. s. f. mit der mten Octave der sten, 2ten, 3ten Quinte 
