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Intervalle jener fünf Töne mit den gleichnamigen reinen Intervallen ein 
Minimum wird. Da nun das temperirte Intervall der grossen Secunde 
— 249 — 1, das der grossen Terz.— 49 — 2, das der Quinte — gq, das 
der grossen Sexte — 31, das der grossen Septime — —= 59 —2 war 
(339), so fordert die angegebene Bedingung, wenn wir die reinen 
Intervalle der genannten Töne der Reihe nach durch d, e, 9, a, h be- 
zeichnen, dass die Summe | 
(d—24 +1? +(e—%9+2? + 6-9) + (a— 39+1)? + h—59+2) 
ein Minimum sey. Dieser Forderung. wird Gnüge geleistet, wenn wir 
den Differentialquotienten dieser Summe in Bezug auf die Veränderliche 
q gleich Null setzen. Hieraus ergiebt sich 
23 +24 +4e+g+3a+ 5h 
Wang N 
Setzt man nun für die Intervalle d, e, 9 a, h ihre logarithmischen Aus- 


log u log T log = log 7 log! v rer 
drücke a eg lager Der Maga WRO erhält man nach einigen 
Reductionen i 
log Eur =) 
I = 5,1082 ° 
woraus sich ergiebt 
g— 0,5810541, 
was der gesuchte Werth des temperirten Quintenintervalls ist. Offenbar 
können nun die den beiden in den $$ 46 und 47 entwickelten Tonsyste- 
men zum Grunde liegenden Werthe qg — Elee= — 0,58065 und q = r 
— 0,58140 als Annäherungen an den so ER gefundenen Werth von x 
angesehen werden. Die schärfsten Näherungswerthe in den kleinstmög- 
lichen Zahlen aber erhält man durch Verwandlung des gefundenen Werths 
von q in den Kettenbruch 
0,5810541 — - 



aus dem wir, wenn wir uns auf diejenigen Näherungswerthe beschrän- 
ken, die aus ein- oder zweiziffrigen Zahlen bestehen, erhalten 
