ENTWICKELUNG DES PRODUCTS EINER POTENZ DES Ravıus VECTORS v.Ss.w. 197 
1A. 
Die drei Grössen e, $ und 7, oder wenn wir # — sin k setzen, g, 
k und p sind zugleich Null, und zugleich jene — 4, und diese — 90°; 
über dieses Intervall können sie nicht hinaus gehen. Die im Vorherge- 
henden entwickelten Ausdrücke sind nun vorzüglich für die Fälle zur 
Anwendung geeignet, wo 9, k und p sich nicht weit von ihrer unteren 
Grenze Null entfernen, während sie, namentlich wenn n nicht klein ist, 
unbequem werden wenn , k und p sich ihrer oberen Grenze nähern. Um 
Ausdrücke zu erhalten, die in diesem Falle bequem werden, muss man 
solche suchen, die nach den Potenzen von cos g, cos k und.cos p fort- 
schreiten. Mit diesen wollen wir uns jetzt beschäftigen. Machen wir 
in der allgemeinen Differentialgleichung (1%) durch die Gleichung 
y% — 1— 7? 
y zur unabhängigen Veränderlichen, so bekommen wir | 
lan + [2a + 20 %y +1— (2a +24 1) — kapy F— 0 
und die Vergleichung mit (1%) zeigt, dass dieser durch die Relation 
F — cF(e, f, «+ ß—y+1,1— 2) 
Genüge geleistet wird, wo c eine willkührliche Gonstante ist. Es er- 
wächst hieraus die Gleichung 
F (a, ß,y,22) = cF(a, ß, a + —y+1,1— 2) (21) 
deren Realität von der Möglichkeit der Bestimmung der Constante c ab- 
hängt. Es zeigt sich aber, dass diese im Allgemeinen nicht möglich ist, 
indem Fälle vorkommen, wo sie sich wie eine Function von z gestal- 
tet, welches vermöge der Art der Entstehung derselben unmöglich ist. 
Die Ursache hiervon ist leicht zu finden, wenn man erwägt, dass jede 
Differentialgleichung der m“ Ordnung m von einander wesentlich ver- 
schiedene particuläre Integrale haben muss, das heisst Integrale die sich . 
nicht durch Anbringung einer Constante auf einander hinführen lassen. 
Da die Differentialgleichung, von welcher wir ausgegangen sind, von.der - 
zweiten Ordnung:ist, so muss sie nothwendig zwei von einander wesent- 
lich verschiedene particuläre Integrale haben, und die beiden F Functio- 
nen, die Bestandtheile der vorstehenden Gleichung sind, sind in der 
That solche, da sie im Allgemeinen sich nicht identisch machen lassen, 
wie ihre Reihenentwickelung zu erkennen giebt. 
Da unsere Differentialgleichung linearisch ist, so können wir zufolge 
eines bekannten Satzes aus diesen particulären Integralen das vollstän- 
Abhandl. d. K. S. Ges. d. Wissensch. IV. 15 
