ENTWICKELUNG DES PRODUCTS EINER POTENZ DES RADıus VECTORS U.8S.w. 255 
SV. 
Entwickelung der Cosinusse und Sinusse der Vielfachen der wahren 
Anomalien in Reihen, die nach den Cosinussen und Sinussen der Viel- 
fachen der mittleren Anomalie fortschreiten, und umgekehrt. 
55. 
Diese Aufgabe lässt sich erstlich aus dem Inhalt der $ II und IV 
lösen. Dort hatten wir nemlich, wenn wir wieder die zur wahren, ex- 
centrischen und mittleren Anomalie gehörigen, imaginären Exponential- 
functionen bez. mit &, y und z bezeichnen, ; 
— SR” y i 
Vu Pi) 24 
Multiplicirt man diese beiden Reihen mit einander, so bekommt man 
Are, BEE on Or h 
wo 
0 en zn Pen RN p. RL Rp) rt Re, pP» + etc. 
Dieser Coefficient besteht also aus einer unendlichen Reihe von Pro- 
ducten, deren jedes aus zwei Factoren besteht. Dieses ist in der That 
die Form, die alle vorhergehenden Entwickelungen haben, die ich in 
jedem $ aus dem Product zweier Factoren abgeleitet habe. In fast allen 
vorhergehenden Fällen bestand jeder der beiden Factoren eines jeden 
Gliedes der Coeflicienten aus einem einzigen Gliede, und ich habe da- 
her den Coeflicienten selbst sogleich mit Einem Buchstaben bezeichnet. 
Nur in der, der vorstehenden analogen, Entwickelung des Art. 42 und 
in der Entwickelung des vorletzten Art. des vor. $ bestand jeder Factor 
aus mehr wie Einem Gliede, weshalb der Coeflicient zuletzt unter einer 
der obigen analogen Form dargestellt wurde. 
Die beiden Factoren eines jeden Gliedes der Coeflicienten können 
auf mannigfaltige Weise dargestellt und verändert werden, wie man im 
Vorhergehenden gesehen hat; es giebt aber ausser diesen eine neue 
Art, und zwar diejenige, wovon ich im vorletzten Art. des vor. $ ein 
Beispiel gegeben habe, die ein neues Licht auf die Entwickelungen der 
Functionen des Radius Vectors und der Anomalien nach den Cosinussen 
und Sinussen der Vielfachen der mittleren Anomalien wirft, indem sie 
diese Entwickelungen auf einen bisher noch nicht gekannten Grad von 
Einfachheit und Regelmässigkeit hinführt. 
