280 P. A. Hansen, 
n-1,m+1 n,m 
PR . n-1,m-1 . n-2, h 
a) O=nsing X; —nsın pÄ, + 2m cos °p X; vd COS X, 
ı 
(b) O—nsinpX; " + (m—n)cos’pyX”" +nX " —icospX”" 
| 
n-1,m +1 
. : -2, -1, . ‚m 
c) 0 —=—nsinpX, + (m+n)cospyX;  —nX; " —icospyX, 
n-1,m-1 n-1,m-+1 
(d) 0—=(n+m)sinpX, — (n— m) sing X, + 2mX, " — McospyXr 
) 
(e) 0 — (n+m) sin’p ge 2(n+2m) sinpX; re (km+2m sin?p re cost) X” = 
— 2(n — 2m) sinpX;" — (n—m) sin?g X; "on 
f) 0o=[n (n—2) +m] cs y LK" — n(an— 3) na) 7 
Ü 
n-3, m-1 
+m (n—A)sinpX; — m(n—1) sing EI — EX" 
(8) 0 — [nn —2)+ m? —2m{n—1)] cos’p X; "" — [n(2n — 3) — 2m(n —1 )] N 
an) am oR, Teen 
(h) 0 —= [n(n— 2) + m? + 2m(n—1)] cos’p X} ”" — [n(2n — 3) + 2m(n—N)] X" 
+ nl 1) KT — mn —1) sing Xi X 
ı 
Man kann hieraus durch Eliminationen noch viele Gleichungen mehr 
ableiten, von welchen ich nur einige hier entwickeln werde. Schreibt 
man in (a) erst n+1 statt n und m-+1 statt m, dann n+1 statt n und 
m—\ statt m, und eliminirt hierauf zwischen diesen beiden Gleichungen 
und der Gleichung (a) die beiden Coeflicienten X”-1”—-1 und X=bm+t1, 
so bekommt man 
n-2,m 
0 —2nm(n-+)sin?pX; + km(m’—1)cos’pX; — — n(n+1)(m+1)sin?p X; er 
—n (n+1) (m—1) sin!gX"""" + Zin(m41) sing cosg X)" "" 
ß 2 +,mH N 
— 2in(m—1) singcospyX;  — kK(m—A) cos’pX;" 
die sich für m—=0 vereinfacht, und dann in Verbindung mit (a) nützlich 
wird. 
RA n, m x 3 
Eliminirt man X,’ entweder zwischen (a) und (d), oder (b) und 
(c), so ergiebt sich 
e n—1, m—1 . n—1l,m+1 n—1, m : n—2, m 
0 —=sinpX; +snpX; + 2X, — 2cos’pX; 
die man auch ohne Differentiation aus der Gleichung zwischen & und o 
hätte finden können. 
Fu TER. n—3, m—1 s s 
Eliminirt man X; ° zwischen (f) und (a), nachdem man in letz- 
. £ , n—3, m+1 
terer n—2 statt n geschrieben hat, so verschwindet zugleich X, 
und man erhält 
’ 
