ENTWICKELUNG DER NEGATIVEN UND UNGRADEN POTENZEN U.8S.w. 287 
zum oben genannten Zwecke bedarf. Sie sind nemlich nach den Po- 
tenzen der Sinusse und Cosinusse von U und U’, und nach den Co- 
sinussen der Vielfachen von J geordnet, während wir sie nach den 
Gosinussen und Sinussen der Vielfachen von U und U’, und nach den 
Potenzen des Sinus oder Cosinus von J haben müssen, weil U und Ü' 
die Argumente der Breiten, und J die gegenseitige Neigung der Bahnen 
des störenden und gestörten Planeten bedeuten. 
Eine Entwickelung dieser Art ist noch nirgends gegeben worden; 
die welche ich hier gebe, hat daher auch, abgesehen von ihrer astro- 
nomischen Anwendung, das rein mathematische Interesse, dass sie die 
CGoeflicienten von r und r’ in einer neuen, bisher unbekannten Form 
darstellt. Der allgemeine Ausdruck, den ich für diese Coefficienten er- 
halten habe, ist sehr einfach, er besteht für die positiven und negativen 
Goeflicienten abgesondert aus einem einzigen Gliede, und ist eine 
Function von Factoriellen, oder mit andern Worten Function der Gaussi- 
schen //Functionen mit Argumenten, die ganze und positive Zahlen sind. 
Aus diesem Ausdruck setzen sich die CGoeflicienten der Gosinusse der 
Vielfachen von U und U’ dergestalt zusammen, dass sie ganze und ratio- 
nale Functionen von tg?4J sind. Die numerischen Werthe der Goeflicienten 
derselben sind bis zur 21. Potenz von r berechnet und dieser Ab- 
handlung angehängt. .Die Berechnung selbst habe ich ausgeführt, und 
Hr. Dr. Scheibner hat die Gontrollen derselben nach Anleitung des 
Art. 26 berechnet. 
Da die ganze Entwickelung strenge ausgeführt ist, so gilt sie für 
jeden Werth von J, aber da die Coeflicienten der höheren Potenzen von 
tg?4J bedeutend gross werden, während die ganze und rationale Function, 
welcher sie angehören, nur bedeutend kleinere Werthe annehmen kann, 
so wird ihre Anwendung in dieser Form beschwerlich, wenn J eme 
gewisse Grösse übersteigt. Da man sie jedoch noch ohne Unbequem- 
lichkeit für die grösste jetzt bekannte, in unserm Planetensystem vor- 
kommende, Neigung — die der Pallasbahn von ohngefähr 35° — an- 
wenden kann, so hätte ich mich mit derselben begnügen können, aber um 
auch Formeln für den nicht undenkbaren Fall zu geben, dass Planeten 
mit grösseren Neigungen bekannt werden sollten, habe ich mehrere 
Umformungen damit vorgenommen. "Es zeigt sich leicht, dass diese 
ganze und rationale Function, abgesehen von einem allgemeinen Factor, 
welcher hervortritt, in die Classe der Gaussischen hypergeometrischen 
