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Reihen gehört, und dass folglich die Umformungen, deren diese Reihen 
fähig sind, hierauf angewandt werden können. 
Bei den Formen, die ich hier beabsichtigte dieser Reihe zu geben, 
trat das Bedürfniss hervor sie in Fällen, wofür man bis jetzt keine 
Summenformeln hatte (namentlich im Falle wo das vierte Element 
— — | wird) summiren zu müssen, und dieser Umstand veranlasste 
eigene Untersuchungen über die Summation dieser hypergeometrischen 
Reihe, und gab Veranlassung zum Inhalt des ersten Paragraphen dieser 
Abhandlung. Man darf hierin daher nicht eine vollständige Abhandlung 
über die Summation dieser Reihen erwarten, sondern nur die Sum- 
mation derselben in den Fällen, die im zweiten.Paragraphen zur An- 
wendung kommen. Ausser diesem wird man jedoch darin mehrere 
neue Summalionsformeln, die sich mir in dieser Untersuchung gelegent- 
lich darboten, so wie einen neuen allgemeinen Ausdruck finden, der 
eine weit allgemeinere Benutzung zuzulassen scheint, wie die, die ich 
hier daraus gezogen habe. 
Während im grössten Verlaufe des zweiten Paragraphen die Ent- 
wickelung der Potenz — 4 der Eingangs genannten Function ausgeführt 
wird, zeige ich am Schlusse, nachdem ich die Formeln zum Uebergang 
zu den Coeflicienten der Cosinusse und Sinusse der Vielfachen der 
wahren Anomalien entwickelt habe, wie man davon zu der Entwickelung 
der Potenzen — 3, —#, etc. der genannten Function übergehen kann. 
Der dritte $. endlich behandelt kurz ein paar Formen, die ich nicht 
glaubte mit Stillschweigen übergehen zu dürfen. 
Sr 
Von der Summation der Gaussischen hypergeometrischen Reihe. 
12 
Euler hat (Inst. cale. integr. Vol. II. probl. 13%) durch ein sehr ele- 
gantes, in späteren Schriften oft nachgeahmtes, Verfahren eine hyper- 
geometrische Reihe summirt, die der Gaussischen (Disquisitiones ca. 
ser. infinil.) analog ist, und auf diese hingeführt werden kann. Eulers 
Resultat umfasst aber nicht alle Fälle, auf welche es bezogen werden 
kann, sondern ist einer Erweiterung fähig, von welcher ich hier das 
Wesentlichste entwickeln werde. Sei die Reihe 
v=eil+abera,bira,bt.n. 
