ÜEBER DIE BESTIMMUNG DER MASSEN UND DER TRÄGHEITSMOMENTE U.S.W. 387 
Will man ın dem zweiten Integrale auf der rechten Seite von No. 45) 
x als unabhängige Variabele ansehen, so wird man dp(x) durch p(x) da 
ersetzen; es liegt aber nahe p(x) selbst als neue Variabele zu betrach- 
ten, also etwa p(x) = y zu nehmen und umgekehrt x durch y auszu- 
drücken. Aus der Gleichung (x) — y erhält man in diesem Falle eine 
Gleichung von der Form & = w(y), den Werthen 2 —=0 und 2—=h 
entsprechen die Gränzen y — g(0) und y —= y(h), und man gelangt so 
zu der Formel 
Er pi N: ei fr: (y)” f(y) dy, 
wobei v (y)” zur Abkürzung für [ ” gesetzt ats ist. 
In u zuletzt Be BES KENN liegt jedoch eine 
stillschweigende Voraussetzung, die um so mehr hervorgehoben werden 
muss, als ihre Nichterfüllung eine Modification des Galcüls bedingt. Eine 
Gleichung von der Form y—=y(x) kann nämlich, nach x aufgelöst, meh- 
rere Wurzeln liefern und es entsteht daher die Frage, welche von jenen 
verschiedenen Umkehrungen an die Stelle von w(y) in No.17) zu setzen 
sei. Diese Frage lässt sich zunächst dahin beantworten, dass negative 
und complexe Wurzeln auszuschliessen sind, weil x rechter Hand in 
No. 16) auf das positive Intervall 0 bis h beschränkt war, mithin Das- 
selbe von seinem nachherigen Werthe ı(y) gelten muss. Wenn daher 
die Gleichung y — g(x) nur eine reelle und positive Umkehrung be- 
sitzt, so ist diese für w(y) zu substituiren und die Formel 17) gilt dann 
schlechthin. 
Ob nun aber eine oder mehrere reelle positive Umkehrungen der 
Gleichung y — y(x) existiren, hängt von dem Verlaufe der Funktion 
y(x) innerhalb des Intervalles x — 0 bis « —= h ab. Wenn sie auf die- 
ser Strecke nur steigt oder nur fällt, so gehört zu jedem y ein einziges 
x, besitzt sie aber zwischen 0 und h verschiedene Maxima und Minima, 
so giebt es mehrere positive reelle Umkehrungen und zwar ist die An- 
zahl derselben im Allgemeinen um eine Einheit grösser als die gesammte 
Menge jener Maxima und Minima d. h. als die Anzahl der zwischen 0 
und 4 fallenden Wurzeln der Gleichung (x) — 0. Man wird die Rich- 
tigkeit dieser Angabe sogleich bestätigt finden, wenn man sich y = p(x) 
als Gleichung einer mit verschiedenen Maximis und Minimis ausgestat- 
teten Curve denkt und nachher y als die willkührliche Coordinate an- 
