UEBER DIE 
ENTWICKELUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN. 
Einleitung. 
Während Legendre bei allen seinen Untersuchungen über die 
elliptischen Integrale die oberen Gränzen derselben als unabhängige 
Variabeln betrachtete, ist bekanntlich von Abel und Jacobi ein gänz- 
lich veränderter Gesichtspunkt geltend gemacht worden; der Werth des 
elliptischen Integrales erster Gattung | 
dz 
] U: == = 
) . Yu) (1— x* 2°) 
0 
oder für z = sin p 


(re F (x, 9) 
“o 
bildet hier das Argument, nach welchem sowohl p und z als die übrigen 
elliptischen Integrale E (x, p) und ZZ (x, A, @) entwickelt werden. An 
die Stelle der Legendre’schen Gleichung u—F (%, p) tritt die inverse 
Gleichung 9==am (u,x) oder kurz 9=amu, woraus von selbst folgt, 
dass z—sing, d.h. 
2) z — sin am (u, x) 
die Umkehrung von No. 1) bezeichnen muss, wofür kürzer sn am u 
geschrieben werden kann. *) Zugleich ist 

*) In seiner an Formeln reichen ‚‚Theorie der Modularfunktionen und Modularinte- 
grale‘“ (Berlin 1844) bedient sich Gudermann der Bezeichnung sn u statt sn am u; 
sie ist aber in so fern nicht empfehlenswerth, als sie erstens den wesentlichen Umstand 
verwischt, dass z in der That der Sinus einer transcendenten Funktion (am «) ist, und 
als sie ferner keine consequente Durchführung gestattet, da man z.B. sn (? am u) und 
sn am (2w) nicht unterscheiden könnte. Ebenso unpassend erscheint die Benennung 
‚„Modularsinus “ statt ‚, Amplitudensinus ‘‘; während nämlich der letztere Ausdruck die 
sprachrichtige Zusammenziehung von ‚Sinus der Amplitude ‘ ist, lässt der erste keine 
bestimmte Deutung zu und stellt die Sache durch Weglassung des Haupfargumentes 
(der Amplitude) in ein schiefes Licht. 
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