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YA— 2 —=csamu, VI— „2? —= VA—u?sn?’amu 
oder wenn man die Legendre’sche Abkürzung V 1— x? sin?p — 4 (2, y) 
beibehält: EI IENERE 
V1—»?22?— 4 am (u, ») = /amu. 
An die Stelle der Differenzialgleichung 
——# _ _ —_.du oder .dp —= Hp) du 
1— #° sin ’p 
tritt nun die folgende 
3) dam u —= Jam u du 
der sich noch die beiden aus den Formeln d sin g = cos p dp und 
d cos g — — sin p dp entspringenden Gleichungen 
4) dsnam uw = + cs am u / am u du 
5) desamu=— sn amu Jam u du 
beigesellen lassen. Denkt man sich den Werth 9 = am u in die übrigen 
elliptischen Integrale E (p) und Z7(g) substituirt, so werden diese gleich- 
falls von u abhängig, nämlich E (am w) und /Z (am «), und bilden mit 
den trigonometrischen Funktionen der Amplitude zusammen die ellipti- 
schen Funktionen im eigentlichen Sinne, während die früheren 
Funktionen Legendre’s nunmehr elliptische Integrale heissen. 
Die Untersuchung richtet sich zunächst auf den Gang der Funktion 
z==sn am u; das Ergebniss ist, dass diese Funktion eine reelle und eine 
imaginäre Periode zugleich besitzt. Setzt man nämlich VI—-»’=% und 
A ZW 
"  dz d 
K ee A RN a 0 Dre : 
6) Yu 2’) — 2°) Yı— x sin "p 
0 0 
TU 
A 
’ dz d 
7 K= = a ee here 
) 1— 3°) 1 —x”z°) vassy® sin?p 
0 
0 


ve 

so ist für beliebige ganze m und m 
sn am (u+ Am K) — sn am u, 
sn am (u+2m'K' V —1) — sn am u. 
Nach Einführung dieser neuen Bezeichnung und mit Rücksicht 
auf die genannte Eigenschaft des Amplitudensinus wird es Jacobi 
möglich seinem allgemeinen Multiplikationstheoreme eine solche Form 
