ÜEBER DIE ENTWICKELUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN. 399 
zu ertheilen, dass sn am (nu) in ähnlicher Weise durch ein Produkt 
von nFaktoren dargestellt wird, wie diess bei sin nu längst bekannt ist; 
für u—= und n — © folgt daraus ein unendliches Produkt für sn am v, 
welches sich wieder in Partialbrüche und unendliche Reihen umsetzen 
lässt. Das Endresultat dieser Untersuchung besteht in dem merk- 
würdigen Theoreme, dass die hauptsächlichsten elliptischen Funktionen 
gebrochene Funktionen sind, deren Zähler und Nenner aus unendlichen 
Reihen von gewaltiger Gonvergenz bestehen; setzt man nämlich 


a K' 
Lan 
8 
und 
e (u) —=1—2g ei + 2gt cos Fr 29° cs +... 
H(W)—2 Vqsin- —aY.g?: Ein 2 q” sin GE ns. 
wo o(u) und H(w) elliplische Transcendenten heissen, so gelten 
die Formeln : 

ı H{) _Y»« HWw+xK) 
sn am u om cs am u—[: re 
Iamu— Va rn 3 
in gleich einfacher Weise lassen sich E (am u) und 77 (am u) durch die 
Transcendente ® ausdrücken. 
Den im Vorigen bezeichneten ebenso geistreichen als natürlichen 
Gedankengang hat Jacobi bei seinen späteren Vorträgen wieder ver- 
lassen und das Ende zum Anfang gemacht, indem er von den durch die 
Gleichungen 
"8 (g,2) = 1-2g cos 22 + 29° cos ku — 2° cos 6x +..... 
9,(,2)—=2YVg sinc—-2Vq sin dr + 2 q° sin 88. —..... 
definirten Funktionen zweier Variabelen ausging, und ihren Zusammen- 
hang mit dem elliptischen Integrale erster Gattung nachwies.*) Der 
Hauptgrund zu dieser Umgestaltung lag in der eigenthümlichen Schwierig- 
keit, welche Integrationen zwischen complexen Gränzen verursachen (ein 
Punkt, auf den wir nachher zurückkommen werden), während dagegen 

*) Eine Skizze dieses Verfahrens enthält die Preisschrift von Rosenhain: ‚,Me- 
moire sur les fonctions a deux variables et a quatre periodes, qui sont les inverses des in- 
tegrales ultra-elliptiques de la premiere classe,; Paris imprimerie nationale MDCCCL“; 
die vollständige Darstellung ist aus Jacobi’s Nachlass zu erwarten. 
