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die für 4 und 9, angegebenen Reihen auch bei complexen x convergiren, 
wenn g jederzeit als echter Bruch angesehen wird. Jacobi’s Schüler 
sind zum Theil noch weiter gegangen und haben es selbst bei reellen 
z und u für misslich erklärt, mit der Definition 
zZ 
d 
wenn en ae ey slistezae— isn amt 
Yru—2) 1 — #2?) 
0 


auszukommen. Sie sagen nämlich: ‚wenn eine Funktion z — f (u) 
Maxima und Minima besitzt, wie diess bei jeder periodischen Funktion 
der Fall ist, so muss jene Gleichung, nach u aufgelöst, mehrere ver- 
schiedene Wurzeln geben, d.h. die umgekehrte Funktion u —F (z) 
muss mehrdeutig sein; daraus folgt im Hinblick auf die reelle Periodieität 
von sn am u, dass das obige bestimmte Integral als unendlich vieldeutig 
zu betrachten ist.“ Obschon dieses Prinzip an sich keinem Zweifel 
unterliegt, so darf man doch im vorliegenden Falle die Anwendung des- 
selben bestreiten; die Theorie der elliptischen Funktionen geht nicht 
von der Gleichung 2 — sn am u aus um deren Wurzeln aufzusuchen, 
sie betrachtet im Gegentheil das Integral u — F (z) zuerst und nachher 
die inverse Funktion z — sn am u; die Entdeckung der Periodicität von 
sn am u beweist dann weiter nichts, als dass man von einer der 
Wurzeln der Gleichung z—sn am u ausgegangen ist und dass es eben 
noch andere Wurzeln giebt. Uebrigens wird die Sache klar, wenn man 
zunächst den Modulus — 0 nimmt und das trigonometrische Seitenstück 
zu den elliptischen Funktionen betrachtet. Wir haben dann 
nehmen wir die Wurzel absolut, so ist identisch mit der vorstehenden 
Gleichung 
3 

EWR E 
Fig 
u—=7+t5 
dem Werthe z—0 entspricht u—=0, zu dem Werthe z=1, welcher nicht 
überschritten werden darf ohne auf eine divergente Reihe zu kommen, 
gehört 
a 1.3 
u—4++3+3+r3735+ us 5 Aal li 

wo K die Summe der Reihe heissen möge; durch Umkehrung der obigen 
Gleichung erhält man 
