ÜEBER DIE ENTWICKELUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN. 0A 
u u° u? 
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Diese Reihe eonvergirt nicht nur von u—=0 bis u—K, sondern überhaupt 
immer, und man kann daher den Gang der Funktion z von u==0 bis u 
untersuchen. Findet sich dabei f(?K+u) = — (u), [(kK+u) = +f(u) 
u.s.w., so beweist diess, dass u — 2+47°+etc. nicht die einzige, 
sondern nur die kleinste Umkehrung der Gleichung z = u — 4 u? + etc. 
ist, während noch unendlich viel andere Umkehrungen existiren.*) 
Dem entsprechend werden wir im Folgenden das Integral 

Z 
dz 
U —= - 
j Y(— 3%) 1—»? 2°) 
0 
als eindeutig und identisch mit 
3 AS 
ur) > a =) N 
betrachten d. h. die Wurzel im absoluten Sinne nehmen. 
Wesentlich anders wird die Sache, wenn die Gränzen des mit u 
bezeichneten Integrales complexe Zahlen sind. Die einzig haltbare und 
genaue Definition des zwischen den reellen Gränzen 2, und Z genom- 
menen bestimmten Integrales 

*) Auch bei anderen Gelegenheiten wiederholt sich diese Erscheinung. Will man 
zB: dıe von 2 0. bis’ 2 — z convergente Reihe 
4° z gi 2° 32 2° 43 z* 
a a 2 En a —— + ..... 
) Boa Syn br Rp RAS yE STEUER ET TE 
summiren, so kann diess mittelst der Bemerkung geschehen, dass u der Gleichung 
du u 
TE ar 
genügt, wie eine ganz gewöhnliche Rechnung zeigt. Das Integral der Differenzialgleichung 
ist C(z=ue”“ oder, weil für z=0 sich win 0 und — in 4 verwandelt, z=ue”*. 
Diese inverse Funktion wächst von u — 0 bis u= 1, wo z —- wird, und nimmt dann 
von uv— 1 bis u—= » wieder ab; einem individuellen z entsprechen folglich zwei u, 
von denen eines weniger, das andere mehr als die Einheit beträgt. Aus der Gleichung 
ue”="—z abgeleitet, ist also u zweideutig, der Gleichung « zu Folge eindeutig — trotz dem 
widersprechen sich diese Behauptungen in keiner Weise; die Gleichung «@ repräsentirt 
die eine und zwar die kleinere Wurzel der Gleichung ue="==z, wie auch die Um- 
kehrungsformel vonLagrange bestätigt, die andere Wurzel ist nicht in eine Potenzen- 
reihe verwandelbar. 
