UEBER DIE ENTWICKELUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN. 405 
nicht aufhalten liess, war sehr begreiflich, zugleich erklären sich daraus 
die späteren Theorieen des Meisters und seiner Schüler Cayley, Eisen- 
stein und Heine, ob aber der ursprüngliche sehr natürliche Gedan- 
kengang desshalb.ganz zu verlassen und sofort durch künstlichere Be- 
trachtungsweisen zu ersetzen sei, darf wohl noch bezweifelt werden; 
aus den oben entwickelten Gründen wenigstens möchte mit Sicherheit 
hervorgehen, dass die Theorie elliptischer Funktionen immer noch als 
streng begründet anzusehen ist, solange das elliptische Integral erster 
Gattung seine Eindeutigkeit behält, was bei reeller oberer Gränze und 
absolut genommener Wurzel immer und bei complexer Gränze dann der 
Fall ist, wenn ihr reeller Bestandtheil weniger als die Einheit beträgt. — 
Mit dieser Beschränkung würden die Entwickelungen der Fundamenta 
nova etc. noch umfangreicher werden, als sie es ohnehin sind, und es 
liegt daher die Frage nahe, ob sich die Resultate, welche Jacobi aus 
seinem Multiplikationstheoreme gezogen hat, nicht direkt aus der Defi- 
nition der elliptischen Funktionen ableiten lassen. Auch das Mittel hierzu 
bietet sich von selbst dar; die in $ 39 u.s. w. der fundam. entwickelten 
Reihen für sn amu, cs amu, /amu etc. sind sammt und sonders von 
den Formen 
3 3 
4A, + A, cos +4, 008 +4, cos + ..... 
. Tu « Inu «  BTU 
B,son 7 +Bsny +B, sn + ...-. 
wo A, B, H constante Grössen bezeichnen, sie gehören also in die 
Classe der von Lagrange und Fourier betrachteten Reihen, deren 
Summen bekanntlich jeder gegebenen Funktion f{u) gleich sein können, 
sobald v auf das Intervall 0 bis H beschränkt wird und die Coeflicien- 
ten A, und B, mittelst der Formeln 

R H 
uk [m cos "TH du, DB; [re sin du 
Ä 0 
bestimmt werden; kann man also die vorstehenden Integrationen in 
dem Falle ausführen, wo an die Stelle von f{w) eine Funktion der Am- 
plitude gesetzt wird, so hat man eine völlig direkte Entwickelung der 
elliptischen Funktionen. Dass sich diese Idee mit sehr geringen Hülfs- 
mitteln realisiren lässt, mögen die folgenden Untersuchungen zeigen ; 
wir schicken denselben eine kurze Ableitung der wenigen elliptischen 
Formeln voraus, deren wir später bedürfen; wie sich von selbst ver- 
