UEBER DIE ENTWICKELUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN. 407 
—1 a 
a (mK + u) ev tr ) sn am u 
\ I1amu 
ee ann 
Iamu 
cs am (mK +u) — (— 
\ 

Jam (mK+u) 
ISamu 
und für gerade m 
sn am (mK -+u) = (— nr sn am u 
42 
cs am (mK +u) = (— 1)’ cs amu 
A am (mK+u) —= am u 
hieraus folgt die reelle Periodicität der in Rede stehenden Funktionen; 
für m — An werden nämlich die rechten Seiten der Reihe nach sn am u, 
csam u, /amu, d.h. die Funktionen bleiben dieselben, wenn vu um ein 
Vielfaches von 4K zunimmt. 
Will man zu Formeln gelangen, in denen die Amplituden complexer 
Variabelen vorkommen, so muss man das Differenzial de: V (1— 2°) (1—x°2°) 
imaginär werden lassen; diess kann auf zweierlei Weise geschehen, 
indem man entweder dem z imaginäre Werthe beilegt, oder indem man 
die Grenze z—1 überschreitet. 
Nehmen wir erstlich das Integral von dz : V (1—2°) (1— x? 2°) zwischen 
den Gränzen 0 und ni und setzen 


mi 
dz s 
u ee also mt — sn amu 
vı- 2”) A— x° 2°) 
0 
so erleidet die unter dem Integralzeichen stehende Funktion keine Un- 
terbrechung der Continuität, mithin darf das Integral auf die gewöhnliche 
Weise angesehen werden und bildet dann die Summe von Elementen, 
welche unter der Form 
i dy 
Y (a4?) + a y) 
enthalten sind, wenn y das Intervall 0 bis 7 durchläuft; demnach hat man 

N 
» dy 
a } nn 
Irers +2.) 
0 
2z 
| 

Mittelst der Substitution y — wird daraus 

