ÜEBER DIE ENTWICKELUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN. 1A 
Allgemeine Theoreme über periodische Reihen mit complexen 
Variabelen. 
Wenn man sich‘ schon bei der ‚Betrachtung von Potenzenreihen 
nicht auf Funktionen reeller Variabelen beschränkt, so ist es gewiss nur 
consequent, die von Lagrange und Fourier gegebenen Reihenent- 
wickelungen gleichfalls auf Funktionen complexer Variabelen auszudeh- 
nen. Um diese Idee zu realisiren, hat man vorerst die Funktion f(u-+ vi) 
in ihren reellen und imaginären Bestandtheil zu zerlegen, etwa 
Pa Fol URFIVi 
mithin 


_ fur) +fu—v) — futv) - fü) 
I en Re 
’ . 
und darauf jede der Funktionen U und V nach einer der bekannten 
Formeln 
Du) =4a,+M, C08. 7 1.0, cos = + G, COS hen. 
H 
H> W208 re 
0 
ITU 
P (u) —= b, sin — ae sin + b, sin g +. 
H 
Hr > ur>0., u | mu ie. 
0 
zu entwickeln, indem man 2 (u) entweder — U oder = V und Zu) —=V 
oder — U nimmt. Dabei.ist H eine willkührliche positive Constante und 
auch v gilt in so fern für constant, als es, der angenommenen Reihen- 
form zufolge, nur in den Coeflicienten vorkommen kann. Die Art und 
Weise dieses Vorkommens lässt sich aber auf folgende Weise näher 
bestimmen. | 
Ist F(t) der Differentialquotient einer beliebigen Funktion.$ (f), so 
hat man gleichzeitig 
a — Fi, Aland) — Fur), Fer ira +ti), 
[rwa=$(), [F(w+öi)du = $(u+ Pi), i[F(@+Wi)d— S(a+vi) 
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