430 ©. ScuLöMILCH, ÜEBER DIE ENTWICKELUNG DER ELLIPT. FUNKTIONEN. 
2K. 
Aam = 
TT 
2.721 (142g cos 204g?) (1 29° cos 204 0°) 1+29° cos 20 + 4°) .... 
je}, % (1— 29 cos 2% 44°) (1 — 2q° cos 20 +9*) 1 — 29° cos20 +4") .... 
Jacobi hat ferner gezeigt, dass für 1>q>0 immer folgende zwei iden- 
tische Gleichungen stattfinden (fund. No. 6%) 
(1—2g9c0s20+9?) (1 —2Q?cos 20+4g°) 1— 24° cos2r +49) .... 


= 5 1— 24 c0s 27 + 2qcos 42 — 29° cos 6x + 2q!° cos sr —... 
und | ee 
2, gsina (1— 2g?cos20+4*) (1— 2g*cos20+4°) (1 — 24° cos2r+4")... 
A A” £ Ar- D A 95% ’ . 
—5 2Y gsine—2y gpsın3c+2y g®sn dc —2yg®sinTr+... | 
worin Q den Werth des unendlichen Produktes 
re N 
bezeichnet; macht man von diesen algebraischen Transformationen da- 
durch Gebrauch, dassman zwei Transcendenten (u) und H (u) mittelst 
der Definitionen 

\ TEU ; Irru Iıu 
PR JEEEER DRIN au 1:4 cos 2 Dog 
e(u’—=41—2g cos 7 + 29° 005 7 2.008 T + --@ 
\ A/- ar TU G A 5008 I3ıu A 95° . bau 
Bee nal, Sy SE SE PAY GSIN a Zelte 
in die Rechnung einführt, so gestalten sich die obigen Produkte zu Quo- 
tienten von je zwei solcher Transcendenten; es wird nämlich 
4 HW) Er a H (k—u) 721 0 (Ku) 
nanı—,;o. Sm Zn Tamm — Yan m 
Vermöge der Gleichung (Jamu)’—=1— »’sn’amu findet zwischen den 
elliptischen Transcendenten ® und H die Beziehung 
Hu) „ale i 
x 
statt, und damit sind die elliptischen Funktionen erster Art auf die eine 
Transcendente ® zurückgeführt. | 
Was die Entwickelung: der elliptischen Funktionen zweiter und 
dritter Gattung betrifft, so möchte das Jacobi’sche Verfahren wohl das 
kürzeste bleiben, und wir brauchen desshalb nicht weiter darauf einzu- 
gehen. Will man endlich die sämmtlichen elliptischen Funktionen mit 
beliebigen complexen Variabelen versehen, so kann man,die Transcen- 
dente e zum Ausgangspunkte nehmen und dann haben die mitgetheilten 
Untersuchungen immer noch den Vortheil,‘ dass man bereits den Zusam- 
menhang kennt, welcher zwischen dieser Transcendente und den ellip- 
tischen Funktionen reeller Argumente stattfindet. 

