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ÜBER DIE RATIONALITÄT DER TANGENTEN-VERHÄLTNISSE 
TAUTOZONALER KRYSTALLFLÄCHEN. 
$. 1. Einleitung. 
Es ist eine bekannte Thatsache, dass in einer jeden Krystallreihe 
die Tangenten der gegenseitigen Neigungswinkel aller tautozonalen, 
d.h. zu einer und derselben Zone gehörigen Flächen in ratio- 
nalen Verhältnissen zu einander stehen.*) Diese Thatsache hat nicht 
nur ein praktisches, sondern auch ein thecretisches Interesse. Sie ist 
nämlich von praktischem Werthe, weil sie allen unseren Ableitungs-Con- 
structionen zu Grunde liegt, und weil sie uns bei der Berechnung der 
verschiedenen Kantenwinkel einer und derselben Zone ein sehr leichtes 
und sicheres Anhalten gewährt. Sie hat aber auch eine theoretische Be- 
deutung, weil sie uns lehrt, dass das Verhältniss der Grund-Dimensionen 
einer jeden Krystallreihe wohl am richtigsten durch Quadratwurzelzahlen 
darzustellen ist, und weil sie uns einige Kriterien für die Beurtheilung 
der Zulässigkeit schiefwinkeliger Axensysteme darbietet. 
Obgleich nämlich die Nothwendigkeit eines irrationalen Verhältnisses 
der Grund-Dimensionen für die verschiedenen Krystallreihen eines und 
desselben Krystallsystems schon a priori gefolgert werden kann, weil 
nur dadurch jeder Uebergang aus einerKrystallreihe in die andere, 
und das Zusammenfallen aller zu einem und demselben Systeme 
gehörigen Krystallreihen in einen einzigen Complex commensurabeler 
Formen unmöglich gemacht wird; so lässt doch diese Folgerung die 
Frage noch gänzlich unbeantwortet, in welcher Weise jener irratio- 
nale Charakter aufzufassen sei; ob es also Quadratwurzeln, Gubik- 
wurzeln, oder irgend andere irrationale Zahlen sind, durch welche das 

*) Es ist jedenfalls nützlich und bequem, für alle zu einer und derselben 
Zone gehörige Flächen einen sie gemeinschaftlich begreifenden Namen zu gebrauchen, 
weshalb ich sie tautozonale Flächen nenne; eben so verstehe ich unter tauto- 
zonalen Kanten alle zu einer und derselben Zone gehörigen Kanten. 
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