508 CG. F. Naumann, ÜBER DIE RATIONALITÄT 
Verhältniss der Grund-Dimensionen dargestellt werde. Die Thatsache 
der rationalen Verhältnisse der Tangenten aller Kantenwinkel einer und 
derselben Zone macht es aber höchst wahrscheinlich, dass meist nur 
Quadratwurzelgrössen der Natur entsprechen können, ohne dass 
jedoch rationale Zahlenwerthe gänzlich ausgeschlossen sind; ja, in den 
schiefwinkeligen Axensystemen scheint es sogar möglich, dass die 
Grund-Dimensionen ein rationales Verhältniss besitzen, weil schon die 
Verschiedenheit der schiefen Neigungswinkel der Axen die verschiede- 
nen Krystallreihen incommensurabel macht. 
Besonders aber dürfte das Gesetz der Rationalität der Tangenten- 
Verhältnisse eine theoretische Wichtigkeit für die Beantwortung der Frage 
gewinnen, ob den klinoödrischen oder schiefwinkeligen Krystallsystemen, 
welche noch von so manchen ausgezeichneten Krystallographen als blose 
hemiödrische oder tetartoödrische Modificationen des rhombischen Sy- 
stemes betrachtet werden, eine wirkliche Selbstständigkeit zugestanden 
werden könne, oder nicht. In diesen Systemen gewinnt nämlich, unter 
Voraussetzung schiefwinkeliger Axen, der allgemeine Ausdruck für 
die Tangenten der Neigungswinkel tautozonaler Flächen eine solche Ge- 
stalt, dass daraus gewisse Bedingungen gefolgert werden können, 
unter denen die schiefen Winkel der Axen und die Grund-Dimensionen 
stehen müssen, dafern die Rationalität der Tangenten-Verhältnisse er- 
halten bleiben soll. Da nun an der Erhaltung dieses Gesetzes auch in 
dem monoklinoödrischen und triklinoödrischen Systeme gar nicht ge- 
zweifelt werden kann, so kommt es nur darauf an, zu prüfen, ob auch 
jene Bedingungen für die verschiedenen Krystallreihen dieser Systeme 
wirklich im Erfüllung gebracht sind. Sollte sich diess bestätigen, so 
würde wohl eines der wesentlichsten Bedenken gehoben sein, welches 
vom krystallographischen Standpunkte aus noch gegen die Anerkennung 
schiefwinkeliger Axensysteme geltend gemacht werden kann. Wir wer- 
den aber weiter unten an einigen Beispielen zeigen, dass die Krystall- 
reihen des monoklinoödrischen und triklinoödrischen Systemes den Be- 
dingungen recht wohl entsprechen, welche für die Elemente ihrer Axen- 
systeme gefordert werden, und dass z. B. das Vorkommen gleich 
geneigter aber krystallographisch und physikalisch ungleich- 
werthigerFlächen in manchen Krystallreihen des monoklinoödrischen 
Systemes, wie des Orthoklases und Pyroxenes, eine nothwendige Folge 
jener Bedingungen ist. 
