DER TANGENTEN-VERHÄLTNISSE TAUTOZONALER KRYSTALLFLÄCHEN. 509 
So viel mir bekannt, haben bis jetzt nur Weiss, Neumann und 
Kupffer, diese drei Koryphäen unter den Krystallographen, Beweise für 
die Rationalität der Tangenten-Verhältnisse tautozonaler Kantenwinkel 
geliefert. Da sie aber ihre Beweisführung unter gewissen beschränkenden 
Bedingungen gaben, wie denn z. B. Neumann nur auf orthoödrische und 
hexagonale Formen Rücksicht nimmt, *) während Kupffer, obgleich von 
dem triklinoödrischen Systeme ausgehend, doch nur die Tangenten - Ver- 
hältnisse solcher Zonen discutirt, deren Zonenlinie einer der Coordinat- 
Ebenen parallel ist, **) so schien es mir nicht überflüssig, in den fol- 
genden Betrachtungen denselben Gegenstand von einem ganz allge- 
meinen Gesichtspunkte aus zu behandeln. 
$. 2. Allgemeine Bedingung für tautozonale Flächen in allen 
Krystallsystemen. 
Wir denken uns ein beliebiges, rechtwinkeliges oder schiefwinkeliges 
Axensystem, und in den drei Axen desselben die Parameter der Grund- 
form, oder die Grund-Dimensionen a, b und ce gegeben, welche zu ein- 
ander in irgend einem rationalen oder irrationalen Verhältnisse stehen 
mögen. Dabei setzen wir voraus, dass a in der (aufrechten) Axe der x, 
b in der Axe der y, und c in der Axe der z liege. Wir denken uns ferner 
zwei verschiedene, in den Öctanten der positiven Halbaxen fallende 
Flächen F und F! durch welche die zu betrachtende Zone bestimmt wird, 
und deren Parameter Multipla oder Submultipla jener Grund-Dimensionen 
nach rationalen Zahlen m, n, r und m‘, n‘, r' sind, so dass also 
für die Fläche F die Parameter ma, nb und re, 
für die Fläche F’ die Parameter m’a, nb und rc 
gelten. Diese rationalen Zahlen m, n u.s.w. sind bekanntlich die A b- 
leitungszahlen der Krystallographie, von denen in der Wirklichkeit 
allemal eine mit dem Werthe 1 zu nehmen ist. 
Die Gleichungen der beiden Flächen F und F’ werden demnach 

und — % ——l 
ma + E 

*) Neumann, Beiträge zur Krystallonomie, Heft I, 1823, 5. 19 1. 
**) Kupffer, Handbuch der rechnenden Krystallonomie, 1831, S. 498 ff. 
