DER TANGENTEN-VERHÄLTNISSE TAUTOZONALER KRYSTALLFLÄCHEN. 5A 
mm (nr — nr) =M' 
nn (rm — r'm) = N 
und vr" (mn — m'n)—= R' 
gesetzt wird. Die Zonenlinie ist aber doch nur eine einzige Linie, 
welche wir auf den Mittelpunkt des Axensystems verlegt haben. Da es 
nun bei solchen durch den Mittelpunkt gehenden Linien lediglich auf das 
Verhältniss der Parameter ankommt, so muss nothwendig 
M:N=M:N 
R:M=R:M 
N:R=N:R 
sein, wenn durch beide jene Systeme von Gleichungen, nämlich durch 
(1) und (3) eine und dieselbe Linie dargestellt werden soll. Hieraus 
ergiebt sich denn aber auch ferner, dass 
M:N:R=M':N:R 
oder, weil alle diese Grössen rationale Zahlwerthe haben, dass 
MEHR INN DZERRe MN 
was so viel bedeutet, dass M', N’ und R’ Multipla oder Submultipla von 
M, N und R nach irgend einer und derselben rationalen 
Zahl %k sind.*) 
Dieses ıst ein allgemeines Gesetz, welches alle tauto- 
zonalen Flächen beherrscht, und gänzlich unabhängig von der Be- 
schaffenheit des Krystallsystems ist; wie denn überhaupt die bisherigen 
Betrachtungen für alle Krystallsysteme in gleicher Weise Giltigkeit haben. 
Dasselbe lässt sich freilich nicht mehr von den nun folgenden Betrach- 
tungen behaupten. 
Um nämlich die Rationalität der Tangenten-Verhältnisse tautozonaler 
Kantenwinkel beweisen zu können, dazu bedürfen wir zuvörderst des 
allgemeinen Ausdruckes für die Tangente des Neigungswinkels W irgend 
zweier Flächen. Da nun dieser Ausdruck in den verschiedenen Krystall- 
systemen, nach Maassgabe ihres geometrischen Grundcharakters, eine 

*) Man kann diess auch so ausdrücken: die Co@fficienten der Zonengleichung, wie 
solche aus irgend zwei Flächen einer Zone folgen, sind gleiche und rationale 
Multipla der, aus zwei beliebigen anderen Flächen derselben Zone abgeleiteten Co&f- 
ficienten. Die Richtigkeit dieser Folgerung wird übrigens noch dadurch bestätigt, dass 
je zwei der Gleichungen M"=kM, N=KN, oder R=KR für sich auf die Zonen- 
gleichung (2) gelangen lassen, welche daher auch aus diesen Bedingungen gefolgert 
werden kann. 
