512 @. F. Naumann, ÜBER DIE RATIONALITÄT 
sehr verschiedene Gestalt erhält, so dürfte es zweckmässig sein, unsere 
ferneren Untersuchungen für die verschiedenen Krystallsysteme be- 
sonders durchzuführen. 
Se Rationalität der Tangenten -Verhältnisse in den ortho&@drischen 
Krystallsystemen. 
In den orthoödrischen Krystallsystemen, also in dem tesseralen, 
tetragonalen und rhombischen Systeme. sind alle drei Axen recht- 
winkelig auf einander, und es bestehen für sie nur noch die Verschie- 
denheiten der Grund-Dimensionen, für welche im Tesseralsysteme 
statt a:b:c die Werthe 1:1:4, 
m Tetragonalsysteme 
statt a:b:c die Werthe a:1:1 
Giltigkeit haben, während im rhombischen Systeme die Ungleichheit aller 
drei Dimensionen ohne Weiteres durch das Verhältniss a:b:c dargestellt 
wird. Da nun die für das'tesserale und das tetragonale System giltigen 
Dimensions-Verhältnisse nur als besondere Fälle des allgemeinen Ver- 
hältnisses a:b:c zu betrachten sind, so wollen wir bei unseren Betrach- 
tungen zunächst dieses Verhältniss zu Grunde legen. 
Gehen wir von dem bekannten Werthe des Cosinus des Neigungs- 
winkels aus, welcher in einem rechtwinkeligen Axensysteme für irgend 
zwei, durch ihre Parameter a, b und c, a, b’ und c' bestimmte Flächen 
durch cos W= — aa’bb + cc’aa' + bb’cc’ 
V«#+ca+bt® Va”d?+ c?2a?+ b°c* 
gegeben ist, so ergiebt sich, dass für zwei abgeleitete Krystallflächen 


F und F/ mit den Parametern ma, nb und re, m’a, n’b und r'c, die Tan- 
gente ihres Neigungswinkels folgenden Werth erhält: 
abe V M’a’+N?b?+R?c? Pe a 
mm'nn'a? b?+ rr'mm'c* a’ + nn’rr' b? ce? Q 
worin M, N und R die Coöfficienten der durch F und F’ bestimmten 

tang W.= 
Zonengleichung sind. Bezeichnen wir nun mit W’ den Neigungswinkel 
der Fläche F gegen eine dritte Fläche F’ von den Parametern m’a, n’b 
und rc, so folgt eben so: 
abe V M?a’+N”V’+R”c* 
mm" nn"a?b? +rr" mm" c* a? +nn"rr"b®.c® 

vP 
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worin M', N’ und R' die Coöfficienten der durch F und F’ bestimmten 
tang W= = abc 

Zonengleichung sind. Nun sollen aber die drei Flächen F, F' und F’ 
