DER TANGENTEN-VERHÄLTNISSE TAUTOZONALER KRYSTALLFLÄCHEN. 5913 
tautozonal sein; folglich muss, nach (4) in. 2, M=kM, N=kN 
und R= kR gesetzt werden können, und es wird daher 
lang W= abc ve 
woraus sich denn ergiebt: 
Disuk 
tang W: tan W= — :—- 
rt, 
oder, indem man einen der drei Werthe von k einsetzt, 
BRUNNER R 
tang W:itangW=,:7 = 7'777 
welehes das gesuchte Verhältniss der Tangenten in allen orthoödrischen 
Krystallsystemen ist. 
Dieses Verhältniss wird aber jedenfalls rational sein, sobald a, b 
und ec, oder die Grund-Dimensionen der betreffenden Krystallreihe, ent- 
weder rationale Zahlenwerthe oder Quadratwurzelwerthe haben, 
weil ja die Ableitungszahlen m, n, r u. s. w., eben so wie die Grössen 
M und M’ lauter rationale Zahlenwerthe haben. Nun können aber die 
Grund-Dimensionen wenigstens nicht allgemein durch rationale Zahlen 
dargestellt werden, weil dann zwischen den einzelnen Krystallreihen 
eines jeden Systems alle Schranken fallen würden, wie solches zwar im 
Tesseralsysteme, in den übrigen Systemen aber gewiss nicht der Fall ist. 
Da nun die Rationalität der Tangenten -Verhältnisse eine durch alle Be- 
obachtungen bestätigte Thatsache ist, so liefert sie auch den Beweis für 
die Richtigkeit der von Weiss geltend gemachten Ansicht, dass die Grund- 
Dimensionen der verschiedenen orthoädrischen Krystallreihen allgemein 
nur in Quadratwurzelgrössen ihren naturgemässen Ausdruck finden kön- 
nen, ohne dass jedoch rationale Zahlwerthe gänzlich ausgeschlossen sind. 
$. A. Cosinus des Neigungswinkels zweier Flächen ım 
trıklino@ädrischen Krystallsysteme. 
Von einem allgemeineren Gesichtspunkte aus lässt sich auch das 
Hexagonalsystem den klinoödrischen Krystallsystemen beirechnen,, weil 
dasselbe, nach Elimination der einen Nebenaxe, ein dreizähliges Axen- 
system darstellt, in welchem sich zwei Coordinat-Ebenen unter 60° 
schneiden, während die dritte Ebene auf beiden rechtwinkelig ist. Wir 
werden von dieser Ansicht weiter unten Gebrauch machen, nachdem wir 
vorher die eigentlich so genannten klinoödrischen Krystallsysteme in 
Betrachtung gezogen haben. 
