51 CG. F. Naumann, ÜBER DIE RATIONALITÄT 
Um diese Betrachtung möglichst allgemein zu begründen, beginnen 
wir mit dem triklinoödrischen Krystallsysteme, weil aus den Re- 
sultaten , auf welche wir in diesem Systeme gelangen, auch diejenigen 
Resultate gefolgert werden können, welche im diklinoödrischen und 
monoklinoödrischen Systeme Giltigkeit haben. 
Es sei uns also eine triklino@drische Krystallreihe durch ihre Axen 
und durch die an diesen Axen anliegenden Neigungswinkel der Co- 
ordinat-Ebenen A, B und G, so wie durch die den Axen gegenüber- 
liegenden Mittelpunktswinkel «, $# und y gegeben; so entsteht uns 
zuvörderst die Aufgabe, den allgemeinen Ausdruck für die Tangente 
des Neigungswinkels W irgend zweier Flächen F und F’ zu finden, von 
denen die eine durch die Parameter a, b und c, die andere durch die 
Parameter a‘, b’ und c’ bestimmt wird. Zur Lösung dieser Aufgabe wollen 
wir erst den Cosinus dieses Winkels aufsuchen, wobei wir uns der 
bekannten Methode bedienen, den Cosinus des Neigungswinkels der 
Gentronormalen beider Flächen, d.h. der aus dem Mittelpunkte des 
Axensystems auf sie gefällten Normalen, zu bestimmen, welcher Winkel 
ja derselbe ist, den die beiden Flächen selbst mit einander bilden. *) 
Die Gleichungen der beiden Flächen F und F’ seien: 
% Y ig E y PEERANEEN |, 
N, und all A er 
Nennen wir ihre Centronormalen N und N, und setzen wir, die Gleichungen 
seien: fürN: =— 2-0 und Z— 2 —=0 
p q s p 
fürN: 2 -=0 und — ! =0 
p q s p 
so ist in diesen Gleichungen 
für N: p=be sin’« —abb — cal 
g= ca sin?$ — bel — abA 
s= ab sin®y — caA — beB' (5) 
für N: p= bc sin’« — ab B— cal 
g= ca sin? — beÜ— abA 
s= ab siny— caA—beB ) 

*) Dieses Problem ist zwar schon lange in den Lehrbüchern der analytischen Geo- 
metrie so wie in Kupffer’'s Handbuch der rechnenden Krystallonomie S. 48 f., auch 
neuerdings auf eine eigenthümliche Weise von Müller (in Poggendorff’s Annalen, B. 84, 
S. 439 ff.) gelöst worden; indessen glauben wir es hier einschalten zu müssen, weil 
wir es in einer, unserer Schreibart der Gleichungen entsprechenden, ziemlich einfachen 
Weise zu lösen versucht haben. 
