518 C. F. Naumann, ÜBER DIE RATIONALITÄT 

sin A sin E sinyyM’HN?HR?H+2MNcosy+2RMcosß +2NR cos) 
aa bb" sin?y + cc'aa" sin’? + bb" cc" sin?a« — aa" (be' + b'c) A'— bb"(ca’ + c'a) B’— cc" (ab"+ a'b) C’ 
sin A sin? siny YP’ 
Q 
in welchem Ausdrucke, der besseren Uebersicht wegen, 
aa (be be) =M 
bb — CN 
cc (ab — a)=N 
gesetzt ist, während A’, B' und C' dieselbe Bedeutung haben, wie zu 
tang W= 

Ende des vorhergehenden Paragraphen. 
Sollen nun aber die drei Flächen F, F'und F’tautozonal sein, 
so wird für sie, auf ähnliche Weise wie solches in $. 2 gezeigt wurde, 
nothwendig erfordert, dass 
MEN MEN, Nein; 
folglich wird 

tang wi k sin A a sinyyP (9) 
woraus sich denn endlich für die Tangenten der beiden tautozonalen 
Winkel W und W’ das Verhältniss ergiebt: 
a 
2’ gq 
Jetzt müssen wir noch die gefundenen Resultate in einer, unserer 
tang W: tang W—= 
krystallographischen Ableitungsmethode entsprechenden Weise schreiben, 
indem wir die drei Flächen F, F' und F’ als abgeleitete Flächen 
auf irgend eine, durch das Parameter-Verhältniss a:b:c bestimmte 
Grundform beziehen. Zu dem Ende haben wir 
für a, b und c die Grössen ma, nb und re, 
für a, b’ und ec die Grössen mia, nb und re, 
für a’, b’ und c' die Grössen m’a, n’b und r’c 
einzusetzen; dadurch wird zuvörderst: 
M—=abeM N=b’caN N= c’abR 
M—= a’beM W= b’caN RN c’abR 
in welchen Werthen M, N und R, M', N und R’ die oben in 8.2 
stehenden Goöfficienten der Zonengleichung sind. Nach erfolgter 
Substitution dieser Werthe erhalten wir für die im Zähler und Nenner 
der beiden Tangentenwerthe (8) und (9) stehenden Grössen 
P= (aM’+ b’N’+ c’R?+ 2abMN cosy + 2caRM cosß + 2beNR cos «) a?b?c? 
