526 G. F. Naumann, ÜBER DIE RATIONALITÄT 
tautozonaler Kanten auch in ihnen erhalten bleibt, wenn sie auf 
schiefwinkelige Axensysteme bezogen, d.h. als triklino@drische 
Krystallreihen betrachtet werden. 
$. 10. Bedingung für die Rationalität der Tangenten -Verhältnisse 
im hexagonalen Krystallsysteme. 
Die in $. 6 gefundenen Resultate lassen sich auch benutzen, um 
die Bedingung zu finden, welche im Hexagonalsysteme für die Ratio- 
nalität der Tangenten-Verhältnisse gefordert wird. In diesem Systeme 
ist nämlich A=60° A) 
DI Bey 
G=90 = 
Setzt man diese Werthe in den allgemeinen Ausdruck von Tangente W, 
so findet man: 
Bw abe y12 y(a* M’+b”N°+ c*R’+beNR) __ abey12yP 
DT Imre +2 mm’(ann’d® + arr'® —nrbe—nrbo)a Q 
Der Ausdruck für tang W folgt aus dem vorstehenden, wenn man darin 
M', N und R', oder auch kM, kN und ÄkR statt M, N und R, so wie 
m’, n' und r” statt m‘, n' und r' schreibt. Man erhält so: 
abeky\2yP 
Q’ 
Die beiden Grössen () und (', durch welche das Verhältniss dieser Tan- 
genten wesentlich bestimmt wird, bestehen nun aber aus lauter ratio- 
tan W = 
nalen Factoren, sobald das Product be rational ist. Diese Be- 
dingung wird jedenfalls erfüllt sein, wenn b=c, d.h. wenn die Neben- 
axen einander gleich sind. Bekanntlich findet aber diese Gleichheit der 
Nebenaxen im Hexagonalsysteme wirklich Statt; folglich ist auch in ihm 
die Rationalität der Tangenten-Verhältnisse tautozonaler Kanten durch- 
weg in Erfüllung gebracht. 
Wenn wir mit Miller, dem sieh auch später Pettko angeschlossen 
hat,*) die hexagonalen Formen nicht auf das gewöhnliche vierzählige 

*) In Haidinger’s Naturwissenschaftlichen Abhandlungen, B. IV, 1851, 4. Abth. 
S.16ff. Bekanntlich hat Miller dieselbe Ansicht schon im Jahre 1839, in seinem Treatise 
on Orystallography, durchgeführt, nachdem sich Grassmann bereits im Jahre 1829, in 
seinem Werke: Zur physischen Krystallonomie, Heft I, S.114 ff. für sie erklärt hatte, 
